Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3445
2019-06-03 
Числа $a$ и $b$ таковы, что первое уравнение системы
$\left \{ \begin{matrix} \sin x + a = bx \\ \cos x = b \end{matrix} \right .$,
имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Вариант А. По условию функция $y = sin x + a - bx$ обращается в нуль ровно в двух точках. Обозначим их $x_1$ и $x_2$, $x_1 < x_2$. Эти точки разбивают числовую ось на 3 интервала: $(- \infty; x_1), (x_1; x_2), (x_2; + \infty)$. Так как наша функция непрерывна и не обращается на этих интервалах в нуль, она не меняет знак на этих интервалах (по теореме о промежуточном значении).
Заметим, что b 6=0, иначе либо функция $y = \sin x + a$ обращалась бы в нуль в бесконечном числе точек (если
$|a| \leq 1$), либо не обращалась бы в нуль ни в одной точке (если |a|>1). Покажем, что на интервалах $(- \infty; x_1)$ и
$(x_2; + \infty)$ функция имеет разные знаки. Без ограничения общности можно считать, что $b > 0$. Тогда при $x > \frac{a+1}{b}$ имеем:
$y \leq 1 + a - bx < 0$,
так что функция отрицательна на интервале $(x_2; + \infty)$, аналогично доказывается, что функция положительна на интервале $(- \infty; x_1)$.
Поэтому на соседних промежутках $(- \infty; x_1), (x_1; x_2)$ или на соседних промежутках $(x_1; x_2), (x_2; + \infty)$ функция имеет одинаковые знаки, а тогда либо точка $x_1$, либо точка $x_2$ является точкой экстремума, и в ней производная
$y^{ \prime} = (\sin x + a - bx)^{ \prime} = \cos x - b$ обращается в нуль.
Решение задачи в варианте Б аналогично.
Числа $a$ и $b$ таковы, что первое уравнение системы
$\left \{ \begin{matrix} \sin x + a = bx \\ \cos x = b \end{matrix} \right .$,
имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Вариант А. По условию функция $y = sin x + a - bx$ обращается в нуль ровно в двух точках. Обозначим их $x_1$ и $x_2$, $x_1 < x_2$. Эти точки разбивают числовую ось на 3 интервала: $(- \infty; x_1), (x_1; x_2), (x_2; + \infty)$. Так как наша функция непрерывна и не обращается на этих интервалах в нуль, она не меняет знак на этих интервалах (по теореме о промежуточном значении).
Заметим, что b 6=0, иначе либо функция $y = \sin x + a$ обращалась бы в нуль в бесконечном числе точек (если
$|a| \leq 1$), либо не обращалась бы в нуль ни в одной точке (если |a|>1). Покажем, что на интервалах $(- \infty; x_1)$ и
$(x_2; + \infty)$ функция имеет разные знаки. Без ограничения общности можно считать, что $b > 0$. Тогда при $x > \frac{a+1}{b}$ имеем:
$y \leq 1 + a - bx < 0$,
так что функция отрицательна на интервале $(x_2; + \infty)$, аналогично доказывается, что функция положительна на интервале $(- \infty; x_1)$.
Поэтому на соседних промежутках $(- \infty; x_1), (x_1; x_2)$ или на соседних промежутках $(x_1; x_2), (x_2; + \infty)$ функция имеет одинаковые знаки, а тогда либо точка $x_1$, либо точка $x_2$ является точкой экстремума, и в ней производная
$y^{ \prime} = (\sin x + a - bx)^{ \prime} = \cos x - b$ обращается в нуль.
Решение задачи в варианте Б аналогично.
