Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3443
2019-06-03 
Дана последовательность $a_n = 1 + 2^n + \cdots + 5^n$. Существуют ли 5 идущих подряд ее членов, делящихся на 2005?
Решение:
Первый способ. Докажем сначала, что для любого $m$, не делящегося на 5, $m^4 - 1$ делится на 5 (это утверждение является частным случаем малой теоремы Ферма).
Имеем $m^4 - 1 = (m - 1)(m + 1)(m^2 + 1)$. Возможные остатки от деления числа $m$ на 5 - это 1, 2, 3 и 4. Если остаток 1, то первый сомножитель делится на 5. Если остаток 4, то второй. Остается убедиться, что если остаток равен 2 или 3, то $m^2$ дает остаток 4, так что третий сомножитель делится на 5.
Используя факт 8, видим, что $m^n - 1$ делится на 5, если $n$ делится на 4, а $m$ не делится на 5.
Заметим, что среди любых пяти подряд идущих членов последовательности найдется член, номер которого делится на 4. Докажем, что все члены с такими номерами не делятся на 5. Действительно, по доказанному, в выражении $1 + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n$ все слагаемые, кроме последнего, дают остаток 1 при делении на 5, а последнее дает остаток 0. Поэтому сумма дает остаток 4 при делении на 5.
Второй способ. Предположим, что числа $a_m, \cdots, a_{m+4}$ делятся на 2005. Тогда числа $b_n = a_{n+1} - a_n = 2^n + 2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n + 4 \cdot 5^n$ также делятся на 2005 при $n = m, m + 1, m + 2, m + 3$. Аналогично, на 2005 делятся числа $c_n = b_{n+1} - 2bn = 2 \cdot 3n + 6 \cdot 4n + 12 \cdot 5n$ при $n = m, m + 1, m + 2$. Рассмотрев затем числа $d_n = c_{n+1} - 3c_n$ и $d_{n+1} - 4d_n$, мы в итоге придем к числу $24 \cdot 5^n$, которое не делится на простое число 401, а значит, и на 2005. Противоречие.
Ответ: Нет, не существуют.
Дана последовательность $a_n = 1 + 2^n + \cdots + 5^n$. Существуют ли 5 идущих подряд ее членов, делящихся на 2005?
Решение:
Первый способ. Докажем сначала, что для любого $m$, не делящегося на 5, $m^4 - 1$ делится на 5 (это утверждение является частным случаем малой теоремы Ферма).
Имеем $m^4 - 1 = (m - 1)(m + 1)(m^2 + 1)$. Возможные остатки от деления числа $m$ на 5 - это 1, 2, 3 и 4. Если остаток 1, то первый сомножитель делится на 5. Если остаток 4, то второй. Остается убедиться, что если остаток равен 2 или 3, то $m^2$ дает остаток 4, так что третий сомножитель делится на 5.
Используя факт 8, видим, что $m^n - 1$ делится на 5, если $n$ делится на 4, а $m$ не делится на 5.
Заметим, что среди любых пяти подряд идущих членов последовательности найдется член, номер которого делится на 4. Докажем, что все члены с такими номерами не делятся на 5. Действительно, по доказанному, в выражении $1 + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n$ все слагаемые, кроме последнего, дают остаток 1 при делении на 5, а последнее дает остаток 0. Поэтому сумма дает остаток 4 при делении на 5.
Второй способ. Предположим, что числа $a_m, \cdots, a_{m+4}$ делятся на 2005. Тогда числа $b_n = a_{n+1} - a_n = 2^n + 2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n + 4 \cdot 5^n$ также делятся на 2005 при $n = m, m + 1, m + 2, m + 3$. Аналогично, на 2005 делятся числа $c_n = b_{n+1} - 2bn = 2 \cdot 3n + 6 \cdot 4n + 12 \cdot 5n$ при $n = m, m + 1, m + 2$. Рассмотрев затем числа $d_n = c_{n+1} - 3c_n$ и $d_{n+1} - 4d_n$, мы в итоге придем к числу $24 \cdot 5^n$, которое не делится на простое число 401, а значит, и на 2005. Противоречие.
Ответ: Нет, не существуют.
