Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3441
2019-06-03 
На сторонах треугольника $ABC$ вовне построены квадраты $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$ и $CAA_1C_2$. На отрезках $A_1A_2$ и $B_1B_2$ также во внешнюю сторону от $\Delta AA_1A_2$ и $\Delta BB_1B_2$ построены квадраты $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Докажите, что $A_3B_4 \parallel AB$.
Решение:
Первый способ. Поскольку $AB = BB_1, BC = BB_2$ и $\angle B_1BB_2 = \pi - \sqrt ABC$, то $S_ABC = S_BB_1B_2$ (рис.). Аналогично, $S_{B_1A_2A_3} = S_{AA_1A_2} = S_ABC = S_{BB_1B_2} = S_{B_1A_2B_4}$.
Итак, треугольники $B_1A_2A_3$ и $B_1A_2B_4$ имеют общее основание $B_1A_2$ и равные площади, значит, их высоты равны, так что $A_3B_4 \parallel A_2B_1 \parallel AB$.
Второй способ. Прежде всего отметим, что медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$, перпендикулярна отрезку $A_1A_2$, а длина этой медианы равна половине длины отрезка $A_1A_2$.
В самом деле, достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$ (рис.). Треугольник $ABD$ является образом треугольника $A_2AA_1$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг центра квадрата $ABB_1A_2$.
Значит, отрезок $A_2A_3$ параллелен этой медиане и вдвое длиннее нее. Аналогично, отрезок $B_1B_4$ параллелен медиане треугольника $ABC$, проведенной из точки $B$, и вдвое длиннее нее. Поэтому
$\vec {A_3B_4} = \vec {A_3A_2} + \vec {A_2B_1} + \vec {B_1B_4} = (\vec {AB} + \vec {AC}) + \vec {AB} + (\vec {AB} + \vec {CB}) = 4 \vec {AB}$.
Таким образом, мы доказали не только утверждение задачи, но и равенство $A_3B_4 = 4AB$.
На сторонах треугольника $ABC$ вовне построены квадраты $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$ и $CAA_1C_2$. На отрезках $A_1A_2$ и $B_1B_2$ также во внешнюю сторону от $\Delta AA_1A_2$ и $\Delta BB_1B_2$ построены квадраты $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Докажите, что $A_3B_4 \parallel AB$.
Решение:
Первый способ. Поскольку $AB = BB_1, BC = BB_2$ и $\angle B_1BB_2 = \pi - \sqrt ABC$, то $S_ABC = S_BB_1B_2$ (рис.). Аналогично, $S_{B_1A_2A_3} = S_{AA_1A_2} = S_ABC = S_{BB_1B_2} = S_{B_1A_2B_4}$.
Итак, треугольники $B_1A_2A_3$ и $B_1A_2B_4$ имеют общее основание $B_1A_2$ и равные площади, значит, их высоты равны, так что $A_3B_4 \parallel A_2B_1 \parallel AB$.
Второй способ. Прежде всего отметим, что медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$, перпендикулярна отрезку $A_1A_2$, а длина этой медианы равна половине длины отрезка $A_1A_2$.
В самом деле, достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$ (рис.). Треугольник $ABD$ является образом треугольника $A_2AA_1$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг центра квадрата $ABB_1A_2$.
Значит, отрезок $A_2A_3$ параллелен этой медиане и вдвое длиннее нее. Аналогично, отрезок $B_1B_4$ параллелен медиане треугольника $ABC$, проведенной из точки $B$, и вдвое длиннее нее. Поэтому
$\vec {A_3B_4} = \vec {A_3A_2} + \vec {A_2B_1} + \vec {B_1B_4} = (\vec {AB} + \vec {AC}) + \vec {AB} + (\vec {AB} + \vec {CB}) = 4 \vec {AB}$.
Таким образом, мы доказали не только утверждение задачи, но и равенство $A_3B_4 = 4AB$.
