Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3440
2019-06-03 
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами. Докажите, что если расстояние между ними-целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
Решение:
Пусть отмеченные точки имеют координаты $(x_1, P(x_1))$ и $(x_2, P(x_2))$, где $x_1 = x_2$. Перенеся начало координат в точку $(x_2, P(x_2))$, можно считать, что $x_2 = 0$ и $P(x_2) = P(0) = 0$. Следовательно, $P(x)$ делится на $x$.
Расстояние между точками $(x_1, P(x_1))$ и $(0, 0)$ равно
$\sqrt {(x_1)^2 + (P(x_1))^2} = |x_1| \sqrt {1 + \left ( \frac{P(x_1)}{x_1} \right )^2}$.
По условию это число - целое. Обозначим $m = \frac{P(x_1)}{x_1}$ (это - тоже целое число). Нам нужно доказать, что $m = 0$. Заметим, что $\sqrt {1 + m^2}$ - рациональное, а следовательно, целое число. Но $1 + m^2$ является точным квадратом только при $m = 0$. Действительно, если $1 + m^2 = n^2$, то $1 = (n - m)(n + m)$, так что $n - m = n + m = 1$ или $n - m = n + m = -1$. В любом случае $m = 0$.
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами. Докажите, что если расстояние между ними-целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
Решение:
Пусть отмеченные точки имеют координаты $(x_1, P(x_1))$ и $(x_2, P(x_2))$, где $x_1 = x_2$. Перенеся начало координат в точку $(x_2, P(x_2))$, можно считать, что $x_2 = 0$ и $P(x_2) = P(0) = 0$. Следовательно, $P(x)$ делится на $x$.
Расстояние между точками $(x_1, P(x_1))$ и $(0, 0)$ равно
$\sqrt {(x_1)^2 + (P(x_1))^2} = |x_1| \sqrt {1 + \left ( \frac{P(x_1)}{x_1} \right )^2}$.
По условию это число - целое. Обозначим $m = \frac{P(x_1)}{x_1}$ (это - тоже целое число). Нам нужно доказать, что $m = 0$. Заметим, что $\sqrt {1 + m^2}$ - рациональное, а следовательно, целое число. Но $1 + m^2$ является точным квадратом только при $m = 0$. Действительно, если $1 + m^2 = n^2$, то $1 = (n - m)(n + m)$, так что $n - m = n + m = 1$ или $n - m = n + m = -1$. В любом случае $m = 0$.
