Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 344
2014-06-07 
Вычислить сумму $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{99}$, где обозначено
$a_{n} = \frac{1}{(n+1) \sqrt{n} + n \sqrt{n+1}}$.
Решение:
Замечая, что при каждом $n = 1, 2, \cdots, 99$ справедливы равенства
$a_{n} = \frac{1}{(n+1)\sqrt{n} + n \sqrt{n+1}} = \frac{(n+1)\sqrt{n} – n \sqrt{n+1}}{(n+1)^{2}n – n^{2}(n+1)} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$
для искомой суммы получаем
$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{99} = \left ( \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) + \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) + \cdots$
$\cdots + \left ( \frac{1}{\sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{100}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10}$
Вычислить сумму $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{99}$, где обозначено
$a_{n} = \frac{1}{(n+1) \sqrt{n} + n \sqrt{n+1}}$.
Решение:
Замечая, что при каждом $n = 1, 2, \cdots, 99$ справедливы равенства
$a_{n} = \frac{1}{(n+1)\sqrt{n} + n \sqrt{n+1}} = \frac{(n+1)\sqrt{n} – n \sqrt{n+1}}{(n+1)^{2}n – n^{2}(n+1)} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$
для искомой суммы получаем
$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{99} = \left ( \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) + \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) + \cdots$
$\cdots + \left ( \frac{1}{\sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{100}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10}$
