Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3438
2019-06-03 
Дан остроугольный треугольник $ABC$ и точка $P$, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников $PAB$, $PAC, PBC$ и $ABC$, а также окружность, проходящая через проекции точки $P$ на стороны $\triangle ABC$, пересекаются в одной точке.
Решение:
Обозначим середину $AP$ через $A_1$, середину $BC$ через $A_2$, проекцию точки $P$ на $BC$ через $A_3$. Точки $B_1, B_2, B_3$ и $C_1, C_2, C_3$ определим аналогично (рис. а и б). Обозначим точку пересечения описанных окружностей треугольников $B_1C_2A_1$ и $C_1B_2A_1$, отличную от $A_1$, через $Q$. Докажем, что описанная окружность треугольника $C_1B_1A_2$ тоже содержит точку $Q$.
Пусть точки расположены как на рисунках. По теореме об углах, вписанных в окружность, $\angle A_1QC_1 = 180^{\circ} -
- \angle A_1B_2C_1 = 180^{\circ} - \angle A_1PC_1$. Аналогично $\angle A_1QB_1 = 180^{\circ} - \angle A_1PB_1$. Значит,
$\angle B_1QC_1 = \angle A_1QC_1 + \angle A_1QB_1 = 360^{\circ} - \angle A_1PC_1 - \angle A_1PB_1 = \angle B_1PC_1 = \angle B_1A_2C_1$.
Поэтому описанная окружность треугольника $C_1B_1A_2$ тоже содержит точку $Q$.
Аналогично доказывается, что описанная окружность треугольника $A_2B_2C_2$ тоже содержит точку $Q$.
Осталось доказать, что описанная окружность треугольника $A_3B_3C_3$ тоже содержит точку $Q$. Для этого достаточно показать, что $\angle A_3C_3B_3 = \angle A_3QB_3$. Точка $B_3$ симметрична точке $P$ относительно $A_1C_1$. Значит, $\angle A_1B_3C_1 = \angle A_1PC_1 = \angle A_1B_2C_1$. Поэтому точка $B_3$ лежит на описанной окружности треугольника $A_1B_2C_1$ (это окружность девяти точек треугольника $APC$).
Итак, точки $A_1, B_3, B_2, C_1, Q$ лежат на одной окружности. Кроме того, четырехугольник $AB_3PC_3$ вписанный (поскольку углы $B_3$ и $C_3$ в нем прямые). Поэтому $\angle B_3QC_1 = \angle B_3A_1C_1 = \angle C_1A_1P = \angle PAB_3 = \angle B_3C_3P$.
Аналогично $\angle A_3C_3P = \angle A_3QC_1$. Значит,
$\angle A_3C_3B_3 = \angle A_3C_3P + \angle B_3C_3P = \angle A_3QC_1 + \angle B_3QC_1 = \angle A_3QB_3$,
что и требовалось доказать.
Дан остроугольный треугольник $ABC$ и точка $P$, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников $PAB$, $PAC, PBC$ и $ABC$, а также окружность, проходящая через проекции точки $P$ на стороны $\triangle ABC$, пересекаются в одной точке.
Решение:
Обозначим середину $AP$ через $A_1$, середину $BC$ через $A_2$, проекцию точки $P$ на $BC$ через $A_3$. Точки $B_1, B_2, B_3$ и $C_1, C_2, C_3$ определим аналогично (рис. а и б). Обозначим точку пересечения описанных окружностей треугольников $B_1C_2A_1$ и $C_1B_2A_1$, отличную от $A_1$, через $Q$. Докажем, что описанная окружность треугольника $C_1B_1A_2$ тоже содержит точку $Q$.
Пусть точки расположены как на рисунках. По теореме об углах, вписанных в окружность, $\angle A_1QC_1 = 180^{\circ} -
- \angle A_1B_2C_1 = 180^{\circ} - \angle A_1PC_1$. Аналогично $\angle A_1QB_1 = 180^{\circ} - \angle A_1PB_1$. Значит,
$\angle B_1QC_1 = \angle A_1QC_1 + \angle A_1QB_1 = 360^{\circ} - \angle A_1PC_1 - \angle A_1PB_1 = \angle B_1PC_1 = \angle B_1A_2C_1$.
Поэтому описанная окружность треугольника $C_1B_1A_2$ тоже содержит точку $Q$.
Аналогично доказывается, что описанная окружность треугольника $A_2B_2C_2$ тоже содержит точку $Q$.
Осталось доказать, что описанная окружность треугольника $A_3B_3C_3$ тоже содержит точку $Q$. Для этого достаточно показать, что $\angle A_3C_3B_3 = \angle A_3QB_3$. Точка $B_3$ симметрична точке $P$ относительно $A_1C_1$. Значит, $\angle A_1B_3C_1 = \angle A_1PC_1 = \angle A_1B_2C_1$. Поэтому точка $B_3$ лежит на описанной окружности треугольника $A_1B_2C_1$ (это окружность девяти точек треугольника $APC$).
Итак, точки $A_1, B_3, B_2, C_1, Q$ лежат на одной окружности. Кроме того, четырехугольник $AB_3PC_3$ вписанный (поскольку углы $B_3$ и $C_3$ в нем прямые). Поэтому $\angle B_3QC_1 = \angle B_3A_1C_1 = \angle C_1A_1P = \angle PAB_3 = \angle B_3C_3P$.
Аналогично $\angle A_3C_3P = \angle A_3QC_1$. Значит,
$\angle A_3C_3B_3 = \angle A_3C_3P + \angle B_3C_3P = \angle A_3QC_1 + \angle B_3QC_1 = \angle A_3QB_3$,
что и требовалось доказать.
