Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3436
2019-06-03 
Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = 2000$ и $BC = \frac{1}{1000}$. Его площадь равна 1. Предположим, что треугольник $ABC$ можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат. Тогда площадь этого квадрата тоже равна 1, значит, и сторона этого квадрата равна 1.
Разобьем катет $AC$ на 1000 равных отрезков точками $A = A_0, A_1, \cdots, A_{999}, A_{1000} = C$. Поскольку частей 1000, а точек 1001, по принципу Дирихле какие-то две попадут в одну часть. Так как эта часть содержится в квадрате со стороной 1, то расстояние между любыми двумя ее точками не превосходит $\sqrt{2}$. С другой стороны, расстояние между любыми двумя из точек $A_0, \cdots, A_{1000}$ не меньше двух. Полученное противоречие доказывает, что треугольник $ABC$ нельзя разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат.
Ответ: Нет, не верно.
Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = 2000$ и $BC = \frac{1}{1000}$. Его площадь равна 1. Предположим, что треугольник $ABC$ можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат. Тогда площадь этого квадрата тоже равна 1, значит, и сторона этого квадрата равна 1.
Разобьем катет $AC$ на 1000 равных отрезков точками $A = A_0, A_1, \cdots, A_{999}, A_{1000} = C$. Поскольку частей 1000, а точек 1001, по принципу Дирихле какие-то две попадут в одну часть. Так как эта часть содержится в квадрате со стороной 1, то расстояние между любыми двумя ее точками не превосходит $\sqrt{2}$. С другой стороны, расстояние между любыми двумя из точек $A_0, \cdots, A_{1000}$ не меньше двух. Полученное противоречие доказывает, что треугольник $ABC$ нельзя разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат.
Ответ: Нет, не верно.
