Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3435
2019-06-03 
Окружность $\omega_1$ проходит через центр окружности $\omega_2$. Из точки $C$, лежащей на $\omega_1$, проведены касательные к $\omega_2$, вторично пересекающие $\omega_1$ в точках $A$ и $B$. Докажите, что отрезок $AB$ перпендикулярен прямой, проходящей через центры окружностей.
Решение:
Пусть $O_2$ - центр окружности $\omega_2, E$ и $F$ - точки касания прямых $AC$ и $BC$ с окружностью $\omega_2$ (рис.). Прямоугольные треугольники $O_2CE$ и $O_2CF$ равны по катету и гипотенузе, так что $\angle O_2CA = \angle O_2CB$. Так как эти углы вписаны в окружность 1, то равны дуги, на которые они опираются: $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.
Поэтому $O_1O_2$ - биссектриса равнобедренного треугольника $AO_1B$, а значит, и высота. Итак, прямая $O_1O_2$ перпендикулярна $AB$.
Окружность $\omega_1$ проходит через центр окружности $\omega_2$. Из точки $C$, лежащей на $\omega_1$, проведены касательные к $\omega_2$, вторично пересекающие $\omega_1$ в точках $A$ и $B$. Докажите, что отрезок $AB$ перпендикулярен прямой, проходящей через центры окружностей.
Решение:
Пусть $O_2$ - центр окружности $\omega_2, E$ и $F$ - точки касания прямых $AC$ и $BC$ с окружностью $\omega_2$ (рис.). Прямоугольные треугольники $O_2CE$ и $O_2CF$ равны по катету и гипотенузе, так что $\angle O_2CA = \angle O_2CB$. Так как эти углы вписаны в окружность 1, то равны дуги, на которые они опираются: $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.
Поэтому $O_1O_2$ - биссектриса равнобедренного треугольника $AO_1B$, а значит, и высота. Итак, прямая $O_1O_2$ перпендикулярна $AB$.
