Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3433
2019-06-03 
Дискриминанты трех приведенных квадратных трехчленов равны 1, 4 и 9. Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Решение:
Из формулы корней квадратного уравнения следует, что если $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трехчлена $x^2 + px + q$, причем $x_1 - x_2$, а $D$ - дискриминант этого трехчлена, то $x_1 - x_2 = \sqrt{D}$. Действительно,
$x_1 - x_2 = \frac{ -b + \sqrt{D}}{2} - \frac{ -b - \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D}$.
Обозначим корни данных приведенных квадратных трехчленов через $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$ так, чтобы $x_1 \geq x_2, y_1 \geq y_2$ и $z_1 \geq z_2$. Тогда, в силу приведенной выше формулы, $x_1 - x_2 = \sqrt{1} = 1, y_1 - y_2 = \sqrt{4} = 2$ и $z_1 - z_2 = \sqrt{9} = 3$.
Следовательно,
$(x_1 - x_2) + (y_1 - y_2) = 3 = z_1 - z_2$,
откуда $x_1 + y_1 + z_2 = x_2 + y_2 + z_1$.
Дискриминанты трех приведенных квадратных трехчленов равны 1, 4 и 9. Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Решение:
Из формулы корней квадратного уравнения следует, что если $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трехчлена $x^2 + px + q$, причем $x_1 - x_2$, а $D$ - дискриминант этого трехчлена, то $x_1 - x_2 = \sqrt{D}$. Действительно,
$x_1 - x_2 = \frac{ -b + \sqrt{D}}{2} - \frac{ -b - \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D}$.
Обозначим корни данных приведенных квадратных трехчленов через $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$ так, чтобы $x_1 \geq x_2, y_1 \geq y_2$ и $z_1 \geq z_2$. Тогда, в силу приведенной выше формулы, $x_1 - x_2 = \sqrt{1} = 1, y_1 - y_2 = \sqrt{4} = 2$ и $z_1 - z_2 = \sqrt{9} = 3$.
Следовательно,
$(x_1 - x_2) + (y_1 - y_2) = 3 = z_1 - z_2$,
откуда $x_1 + y_1 + z_2 = x_2 + y_2 + z_1$.
