2014-06-07
Доказать, что если прямоугольный параллелепипед можно разбить на прямоугольные параллелепипеды, каждый из которых имеет ребро целочисленной длины, то и исходный параллелепипед тоже имеет такое ребро.
Решение:
Мысленно разобьем все пространство, в котором лежат параллелепипеды, на кубики с ребром 1/2 и раскрасим их в белый и черный цвет в “шахматном порядке (т. е. так, чтобы любые кубики с общей гранью имели разный цвет). Докажем, что если какой-либо параллелепипед имеет целое ребро и все его грани параллельны граням кубиков, то объем его белой части равен объему его черной части. Действительно, с помощью разрезов плоскостями, перпендикулярными целому ребру, разобьем весь параллелепипед на слон толщины 1/2 и заметим, что при параллельном переносе крайнего слоя до совмещения его с соседним слоем белые части первого совпадают с черными частями второго и наоборот. То же самое произойдет со следующей парой соседних слоев и т. д. Следовательно, объем белой части равен объему черной в каждой паре соседних слоев (которых всего имеется четное число), а значит, и целиком в параллелепипеде. Пусть грани исходного параллелепипеда параллельны граням кубиков, причем его вершина А совпадает с вершиной одного из кубиков, а среди его ребер нет целочисленных. Тогда все параллелепипеды, на которые он по условию разбит, имеют по целому ребру (а грани их, разумеется, параллельны граням кубиков, так как этих параллелепипедов конечное множество и их можно последовательно перебрать, если сначала выбросить тот из них, который лежит в углу исходного параллелепипеда, затем тот, который лежит в углу оставшейся фигуры и т. д.). Следовательно, в силу доказанного выше утверждения объем белой части каждого из них (а значит, и исходного параллелепипеда целиком) равен объему черной. В исходном параллелепипеде тремя плоскостями, параллельными его граням, можно вырезать параллелепипед с вершиной А, целыми ребрами и наибольшим объемом. Среди оставшихся семи параллелепипедов, которые образуются в результате этих разрезов, шесть имеют по целому ребру, а один имеет все ребра, меньшие 1, и вершину В, совпадающую с вершиной одного из кубиков. Достроим этот параллелепипед до куба с ребром 1 и той же вершиной В. Три плоскости, вырезающие в этом кубе внутренний параллелепипед, разрезают куб на восемь параллелепипедов, среди которых хотя бы один имеет все ребра, не превосходящие 1/2, поэтому объемы его белой и черной частей не равны (ибо один из этих объемов равен 0). То же самое можно сказать и про три параллелепипеда, имеющих с ним общую грань (каждый из которых образует с ним параллелепипед с ребром 1), а также про остальные параллелепипеды, в том числе и про тот из них. который имеет вершину В. Таким образом, исходный параллелепипед оказался разрезанным на восемь параллелепипедов, всеми из которых объемы белых и черных частей равны, а в восьмом нет. Полученное противоречие показывает, что исходный параллелепипед не может не иметь целого ребра.