Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3429
2019-06-03 
Высоты $AA^{ \prime}$ и $BB^{ \prime}$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $X$ и $Y$ - середины отрезков $AB$ и $CH$ соответственно. Докажите, что прямые $XY$ и $A^{ \prime}B^{ \prime}$ перпендикулярны.
Решение:
Так как $AA^{ \prime}$ и $BB^{ \prime}$ - высоты, треугольники $AA^{ \prime}B, AB^{ \prime}B, CA^{ \prime}H$ и $CB^{ \prime}H$ - прямоугольные (рис.). Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, поэтому $XA^{ \prime} = \frac{1}{2} AB = XB^{ \prime}$ и $YA^{ \prime} = \frac{1}{2} CH = YB^{ \prime}$. Значит, треугольники $XBY$ и $XAY$ равны по трем сторонам. Следовательно, $YX$ - биссектриса угла $B^{ \prime}YA^{ \prime}$. Но в равнобедренном треугольнике $B^{ \prime}YA^{ \prime}$ биссектриса является высотой, поэтому прямая $XY$ перпендикулярна прямой $A^{ \prime}B^{ \prime}$.
Вариант решения. Это решение можно изложить иначе: построим на отрезках $AB$ и $CH$ как на диаметрах окружности. Центры этих окружностей - точки $X$ и $Y$, причем окружности пересекаются в точках $A^{ \prime}$ и $B$. Утверждение задачи теперь следует из того, что прямая, соединяющая точки пересечения двух окружностей, перпендикулярна линии центров.
Высоты $AA^{ \prime}$ и $BB^{ \prime}$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $X$ и $Y$ - середины отрезков $AB$ и $CH$ соответственно. Докажите, что прямые $XY$ и $A^{ \prime}B^{ \prime}$ перпендикулярны.
Решение:
Так как $AA^{ \prime}$ и $BB^{ \prime}$ - высоты, треугольники $AA^{ \prime}B, AB^{ \prime}B, CA^{ \prime}H$ и $CB^{ \prime}H$ - прямоугольные (рис.). Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, поэтому $XA^{ \prime} = \frac{1}{2} AB = XB^{ \prime}$ и $YA^{ \prime} = \frac{1}{2} CH = YB^{ \prime}$. Значит, треугольники $XBY$ и $XAY$ равны по трем сторонам. Следовательно, $YX$ - биссектриса угла $B^{ \prime}YA^{ \prime}$. Но в равнобедренном треугольнике $B^{ \prime}YA^{ \prime}$ биссектриса является высотой, поэтому прямая $XY$ перпендикулярна прямой $A^{ \prime}B^{ \prime}$.
Вариант решения. Это решение можно изложить иначе: построим на отрезках $AB$ и $CH$ как на диаметрах окружности. Центры этих окружностей - точки $X$ и $Y$, причем окружности пересекаются в точках $A^{ \prime}$ и $B$. Утверждение задачи теперь следует из того, что прямая, соединяющая точки пересечения двух окружностей, перпендикулярна линии центров.
