Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3427
2019-06-03 
Найдите хотя бы одно целочисленное решение уравнения
$a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 = 2005$.
Решение:
Для решения задачи достаточно убедиться, что числа $a = 2, b = 20$ удовлетворяют нашему уравнению.
Объясним, как найти все целочисленные решения этого уравнения (хотя этого и не требовалось для решения задачи). Разложим левую часть уравнения на множители:
$a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 = a^2(b^2 + 1) + (b^2 + 1)$.
Уравнение примет вид $(a^2 + 1)(b^2 + 1) = 2005$. Значит, и $(a^2 +1)$ и $(b^2 +1)$ являются делителями числа 2005.
Найдем все положительные делители числа 2005. Для этого разложим это число на простые множители: $2005 = 5 \cdot 401$. Теперь ясно, что все положительные делители числа 2005 - это 1, 5, 401 и 2005.
Заметим, что $a^2 + 1$ не может быть равно 2005: иначе $a^2 = 2004$, но 2004 не является полным квадратом. Кроме того, если $a^2 + 1 = 1$, то $b^2 + 1 = 2005$, что тоже невозможно. Значит, возможны только случаи
$\begin{cases} a^2 + 1 = 5 \\ b^2 + 1 = 401 \end{cases}$ или $\begin{cases} a^2 + 1 = 401 \\ b^2 + 1 = 5 \end{cases}$.
Решая эти уравнения, находим все решения исходного уравнения: $a = \pm 2, b = \pm 20$ или $a = \pm 20, b = \pm 2$.
Найдите хотя бы одно целочисленное решение уравнения
$a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 = 2005$.
Решение:
Для решения задачи достаточно убедиться, что числа $a = 2, b = 20$ удовлетворяют нашему уравнению.
Объясним, как найти все целочисленные решения этого уравнения (хотя этого и не требовалось для решения задачи). Разложим левую часть уравнения на множители:
$a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 = a^2(b^2 + 1) + (b^2 + 1)$.
Уравнение примет вид $(a^2 + 1)(b^2 + 1) = 2005$. Значит, и $(a^2 +1)$ и $(b^2 +1)$ являются делителями числа 2005.
Найдем все положительные делители числа 2005. Для этого разложим это число на простые множители: $2005 = 5 \cdot 401$. Теперь ясно, что все положительные делители числа 2005 - это 1, 5, 401 и 2005.
Заметим, что $a^2 + 1$ не может быть равно 2005: иначе $a^2 = 2004$, но 2004 не является полным квадратом. Кроме того, если $a^2 + 1 = 1$, то $b^2 + 1 = 2005$, что тоже невозможно. Значит, возможны только случаи
$\begin{cases} a^2 + 1 = 5 \\ b^2 + 1 = 401 \end{cases}$ или $\begin{cases} a^2 + 1 = 401 \\ b^2 + 1 = 5 \end{cases}$.
Решая эти уравнения, находим все решения исходного уравнения: $a = \pm 2, b = \pm 20$ или $a = \pm 20, b = \pm 2$.
