Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3424
2019-06-03 
Треугольник $ABC$ с острым углом $\angle A = \alpha$ вписан в окружность. Диаметр этой окружности проходит через основание высоты треугольника, проведенной из вершины $B$, и делит треугольник $ABC$ на две части одинаковой площади. Найдите величину угла $B$.
Решение:
Докажем, что треугольник $ABC$ либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Пусть $H$ - основание высоты, проведенной из вершины $B$. Заметим, что точка $H$ лежит на стороне $AC$, а не на ее продолжении, иначе она лежала бы вне описанной окружности, и никакой диаметр через нее не проходил бы.
Пусть указанный в условии диаметр $d$ пересекает треугольник в точках $H$ и $G$ (рис. а). Пусть $M$ - середина стороны AC. Если диаметр $d$ содержит отрезок $BM$, то $H = M$, треугольник $ABC$ - равнобедренный, и $\angle B = \pi - 2 \alpha$ (рис. б). Пусть диаметр $d$ не содержит отрезка $BM$, тогда из того, что каждый из этих отрезков делит треугольник на две равновеликие части, следует, что эти отрезки пересекаются в некоторой точке $K$. Ясно, что площади треугольников $BGK$ и $MKH$ равны. Тогда площади треугольников $BGH$ и $BMH$ тоже равны. Значит, высоты этих треугольников, проведенные к стороне $BH$, равны, следовательно, отрезок $BH$ параллелен $GM$. Поэтому отрезок $GM$ - серединный перпендикуляр к хорде $AC$. Следовательно, он является частью диаметра окружности. Значит, точка $G$ принадлежит двум различным диаметрам, поэтому она является центром окружности (рис. в). Если точка $G$ лежит на стороне $BC$, то $\alpha = \pi/2$ (см. факт 14), что противоречит условию, а если $G$ лежит на стороне $AB$, то $\angle C = \pi/2$ и $\angle B = \pi/2 - \alpha$.
Вариант решения. Пусть указанный в условии диаметр $d$ пересекает треугольник в точках $H$ и $G$. Допустим, что точка $G$ лежит на отрезке $AB$ (возможно, совпадая с точкой $B$), тогда площадь треугольника $AHG$ равна
$\frac{AG}{AB} \frac{AH}{AC} S_ABC = \frac{AG}{AC} S_ABC \cos \alpha$
Теперь условие задачи можно переписать так:
$AG = \frac{AC}{2 \cos \alpha}$.
Таким образом $AG$ - гипотенуза в треугольнике с катетом $AC/2$ и прилежащим углом $\alpha$. Из этого сразу следует, что $G$ - точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AC$ с прямой $AB$. Но серединный перпендикуляр к хорде содержит диаметр окружности. Значит, либо $G$ - центр окружности, либо этот диаметр совпадает с диаметром $d$. В первом случае $AB$ - тоже диаметр, так что $\angle C = \pi/2$. Во втором случае точка H является серединой $AC$, и треугольник равнобедренный.
Если точка $G$ лежит на отрезке $BC$ и не совпадает с точкой $B$, то, как и выше, можно доказать, что $\alpha = \pi/2$, но это противоречит условию.
Треугольник $ABC$ с острым углом $\angle A = \alpha$ вписан в окружность. Диаметр этой окружности проходит через основание высоты треугольника, проведенной из вершины $B$, и делит треугольник $ABC$ на две части одинаковой площади. Найдите величину угла $B$.
Решение:
Докажем, что треугольник $ABC$ либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Пусть $H$ - основание высоты, проведенной из вершины $B$. Заметим, что точка $H$ лежит на стороне $AC$, а не на ее продолжении, иначе она лежала бы вне описанной окружности, и никакой диаметр через нее не проходил бы.
Пусть указанный в условии диаметр $d$ пересекает треугольник в точках $H$ и $G$ (рис. а). Пусть $M$ - середина стороны AC. Если диаметр $d$ содержит отрезок $BM$, то $H = M$, треугольник $ABC$ - равнобедренный, и $\angle B = \pi - 2 \alpha$ (рис. б). Пусть диаметр $d$ не содержит отрезка $BM$, тогда из того, что каждый из этих отрезков делит треугольник на две равновеликие части, следует, что эти отрезки пересекаются в некоторой точке $K$. Ясно, что площади треугольников $BGK$ и $MKH$ равны. Тогда площади треугольников $BGH$ и $BMH$ тоже равны. Значит, высоты этих треугольников, проведенные к стороне $BH$, равны, следовательно, отрезок $BH$ параллелен $GM$. Поэтому отрезок $GM$ - серединный перпендикуляр к хорде $AC$. Следовательно, он является частью диаметра окружности. Значит, точка $G$ принадлежит двум различным диаметрам, поэтому она является центром окружности (рис. в). Если точка $G$ лежит на стороне $BC$, то $\alpha = \pi/2$ (см. факт 14), что противоречит условию, а если $G$ лежит на стороне $AB$, то $\angle C = \pi/2$ и $\angle B = \pi/2 - \alpha$.
Вариант решения. Пусть указанный в условии диаметр $d$ пересекает треугольник в точках $H$ и $G$. Допустим, что точка $G$ лежит на отрезке $AB$ (возможно, совпадая с точкой $B$), тогда площадь треугольника $AHG$ равна
$\frac{AG}{AB} \frac{AH}{AC} S_ABC = \frac{AG}{AC} S_ABC \cos \alpha$
Теперь условие задачи можно переписать так:
$AG = \frac{AC}{2 \cos \alpha}$.
Таким образом $AG$ - гипотенуза в треугольнике с катетом $AC/2$ и прилежащим углом $\alpha$. Из этого сразу следует, что $G$ - точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AC$ с прямой $AB$. Но серединный перпендикуляр к хорде содержит диаметр окружности. Значит, либо $G$ - центр окружности, либо этот диаметр совпадает с диаметром $d$. В первом случае $AB$ - тоже диаметр, так что $\angle C = \pi/2$. Во втором случае точка H является серединой $AC$, и треугольник равнобедренный.
Если точка $G$ лежит на отрезке $BC$ и не совпадает с точкой $B$, то, как и выше, можно доказать, что $\alpha = \pi/2$, но это противоречит условию.
