Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3422
2019-06-03 
Верно ли, что для любых четырех попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?
Решение:
Пусть $a, b, c, d$ - четыре попарно скрещивающиеся прямые. Построим такие плоскости $\alpha \supset a$ и $\beta \supset b$, что $\alpha параллельна \beta$ (рис.). Аналогично, построим такие плоскости $\gamma \supset c$ и $\sigma \supset d$, что $\gamma$ параллельна $S$. Рассмотрим произвольное направление $\vec {v}$, не параллельное никакой из этих плоскостей. Спроецируем прямую $а$ на плоскость $\beta$ вдоль этого направления. Обозначим через $B$ точку пересечения проекции и прямой $b$, а через $A \in a$ ее прообраз при проецировании, тогда прямая $AB$ параллельна направлению $\vec {v}$. Аналогично строятся точки $C \in c$ и $D \in d$, для которых прямая $CD$ параллельна направлению $\vec {v}$. Тогда прямая $AB$ параллельна $CD$, поэтому либо точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной прямой, либо четырехугольник $ABCD$ - трапеция, либо четырехугольник $ABCD$ - параллелограмм.
Основная сложность состоит в том, чтобы исключить случай точек, лежащих на одной прямой. Пусть, сначала, плоскости $\alpha$ и $\gamma$ не параллельны.
1°. Начнем издалека. Рассмотрим поверхность $H$, заданную в пространстве уравнением
$x^2 + y^2 - z^2 = 1$.
Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом. Ее пересечение с плоскостью $z = 0$ есть окружность. Оказывается, через каждую точку этой окружности проходят ровно две прямые, целиком лежащие на $H$ (рис.). Читатель может попытаться проверить это и последующие утверждения в координатах.
Оказывается, такие прямые (они называются образующими) разбиваются на два семейства: прямые одного семейства скрещиваются, а разных - пересекаются. Кроме того, никаких других прямых на гиперболоиде нет.
Заметим также, что если все эти прямые параллельно перенести в начало координат, то они перейдут в образующие конуса $x^2 + y^2 - z^2 = 0$.
2°. Можно показать (попробуйте), что любые три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, можно перевести аффинным преобразованием в любые другие три прямые, удовлетворяющие тем же условиям. Плоскости $\alpha$ и $\gamma$ не параллельны, поэтому, переобозначив при необходимости прямые, можно считать, что прямые $a, b$ и $c$ не параллельны одной плоскости.
Теперь возьмем любые три образующие (из одного семейства) $a^{ \prime}, b^{ \prime}, c^{ \prime}$ на $H$. Нетрудно проверить, что они не параллельны одной плоскости, значит, аффинным преобразованием можно перевести их в $a, b$ и $c$. Но наша задача инвариантна относительно аффинных преобразований, поэтому можно с самого начала считать, что прямые $a, b$ и $c$ лежат на $H$. Они принадлежат одному семейству образующих, которое мы будем называть первым.
Нетрудно видеть, что прямая либо лежит на гиперболоиде, либо пересекает его не более, чем в двух точках. Значит, прямые, пересекающие каждую из прямых $a, b$ и $c$, - это в точности образующие $H$ из второго семейства. Поэтому возможны две ситуации: 1) прямая $d$ лежит на $H$, тогда каждая из образующих второго семейства пересекает все прямые $a, b, c, d$, и 2) прямая $d$ пересекает $H$ не более, чем в двух точках, тогда прямых, пересекающих каждую из прямых $a, b, c, d$, не более двух.
Теперь потребуем, чтобы направление $\vec {v}$ было параллельно плоскости $z = 0$. Так как ни одна из образующих не параллельна этой плоскости, точки $A, B, C$ и $D$ не будут лежать на одной прямой.
3°. Чтобы исключить случай параллелограмма, достаточно обеспечить неравенство $AB \neq CD$. Заметим, что $AB = \frac{p}{ \sin \phi}$ и $CD = \frac{q}{ \sin \psi}$, где $p$ - расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, $q$ - расстояние между плоскостями $\gamma$ и $\sigma$, $\phi$ - угол между направлением $\vec {v}$ и плоскостью $\alpha, \psi$ - угол между направлением $\vec {v}$ и плоскостью $\gamma$.
Итак, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
$\sin \phi < \frac{p}{q} \sin \psi$. (2)
Пусть $f$ - прямая пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $z = 0$. Пусть сначала $f$ не параллельна плоскости $\gamma$. Если взять вектор $vec{v}$ параллельным прямой $f$, то $\phi = 0, \psi = 0$. Если этот вектор чуть-чуть пошевелить так, чтобы он оставался параллельным плоскости $z = 0$, то условие (2) сохранится в силу непрерывности, и соответствующие точки $A, B, C$ и $D$ будут вершинами трапеции.
Если $f$ параллельна плоскости $\gamma$, то рассмотрим любую такую плоскость $\xi$, что угол между ней и плоскостью
$z = 0$ меньше, чем $\pi/4$, и прямая $\alpha \cap \xi$ не параллельна плоскости $\gamma$. Можно убедиться, что такая плоскость тоже не параллельна ни одной из образующих (достаточно проверить, что угол между любой из образующих и плоскостью $z = 0$ равен $\pi/4$). Осталось повторить предыдущую конструкцию с плоскостью вместо плоскости $z = 0$.
4°. Пусть теперь все плоскости $\alpha, \beta, \gamma, \sigma$ параллельны, тогда ($\phi = \psi$ для любого направления $\vec {v}$, и для выполнения неравенства $AB \neq CD$ достаточно неравенства $p = q$, которого всегда можно добиться, переобозначив прямые.
Чтобы точки $A, B, C$ и $D$ не лежали на одной прямой, поступим следующим образом.
Рассмотрим гиперболический параболоид $xy = z$ (рис.). На нем тоже имеется два семейства образующих, причем образующие одного семейства параллельны плоскости $x = 0$, а образующие другого - плоскости $y = 0$.
Пусть плоскости $\alpha^{ \prime}, \beta^{ \prime}$ и $\gamma^{ \prime}$ параллельны плоскости $x = 0$, а расстояния между ними такие же, как и между плоскостями #\alpha, \beta$ и $\gamma$. Каждая из этих плоскостей высекает прямую на параболоиде. Нетрудно видеть, что аффинным преобразованием можно перевести прямые $a, b$ и $c$ в соответствующие прямые на параболоиде. Итак, можно считать, что прямые $a, b$ и $c$ являются образующими параболоида. Теперь достаточно взять вектор $\vec {v}$ не параллельным ни одной из плоскостей $x = 0, y = 0$.
б) Возьмем четыре параллельные плоскости, все попарные расстояния между которыми различны. В каждой из них проведем прямую таким образом, чтобы эти прямые попарно скрещивались. Докажем, что параллелограмма с вершинами на этих прямых не существует. Действительно, длины любых двух параллельных отрезков с концами на этих прямых пропорциональны расстояниям между соответствующими парами плоскостей, а значит, различны.
Ответ: На 9 частей.
Верно ли, что для любых четырех попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?
Решение:
Пусть $a, b, c, d$ - четыре попарно скрещивающиеся прямые. Построим такие плоскости $\alpha \supset a$ и $\beta \supset b$, что $\alpha параллельна \beta$ (рис.). Аналогично, построим такие плоскости $\gamma \supset c$ и $\sigma \supset d$, что $\gamma$ параллельна $S$. Рассмотрим произвольное направление $\vec {v}$, не параллельное никакой из этих плоскостей. Спроецируем прямую $а$ на плоскость $\beta$ вдоль этого направления. Обозначим через $B$ точку пересечения проекции и прямой $b$, а через $A \in a$ ее прообраз при проецировании, тогда прямая $AB$ параллельна направлению $\vec {v}$. Аналогично строятся точки $C \in c$ и $D \in d$, для которых прямая $CD$ параллельна направлению $\vec {v}$. Тогда прямая $AB$ параллельна $CD$, поэтому либо точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной прямой, либо четырехугольник $ABCD$ - трапеция, либо четырехугольник $ABCD$ - параллелограмм.
Основная сложность состоит в том, чтобы исключить случай точек, лежащих на одной прямой. Пусть, сначала, плоскости $\alpha$ и $\gamma$ не параллельны.
1°. Начнем издалека. Рассмотрим поверхность $H$, заданную в пространстве уравнением
$x^2 + y^2 - z^2 = 1$.
Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом. Ее пересечение с плоскостью $z = 0$ есть окружность. Оказывается, через каждую точку этой окружности проходят ровно две прямые, целиком лежащие на $H$ (рис.). Читатель может попытаться проверить это и последующие утверждения в координатах.
Оказывается, такие прямые (они называются образующими) разбиваются на два семейства: прямые одного семейства скрещиваются, а разных - пересекаются. Кроме того, никаких других прямых на гиперболоиде нет.
Заметим также, что если все эти прямые параллельно перенести в начало координат, то они перейдут в образующие конуса $x^2 + y^2 - z^2 = 0$.
2°. Можно показать (попробуйте), что любые три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, можно перевести аффинным преобразованием в любые другие три прямые, удовлетворяющие тем же условиям. Плоскости $\alpha$ и $\gamma$ не параллельны, поэтому, переобозначив при необходимости прямые, можно считать, что прямые $a, b$ и $c$ не параллельны одной плоскости.
Теперь возьмем любые три образующие (из одного семейства) $a^{ \prime}, b^{ \prime}, c^{ \prime}$ на $H$. Нетрудно проверить, что они не параллельны одной плоскости, значит, аффинным преобразованием можно перевести их в $a, b$ и $c$. Но наша задача инвариантна относительно аффинных преобразований, поэтому можно с самого начала считать, что прямые $a, b$ и $c$ лежат на $H$. Они принадлежат одному семейству образующих, которое мы будем называть первым.
Нетрудно видеть, что прямая либо лежит на гиперболоиде, либо пересекает его не более, чем в двух точках. Значит, прямые, пересекающие каждую из прямых $a, b$ и $c$, - это в точности образующие $H$ из второго семейства. Поэтому возможны две ситуации: 1) прямая $d$ лежит на $H$, тогда каждая из образующих второго семейства пересекает все прямые $a, b, c, d$, и 2) прямая $d$ пересекает $H$ не более, чем в двух точках, тогда прямых, пересекающих каждую из прямых $a, b, c, d$, не более двух.
Теперь потребуем, чтобы направление $\vec {v}$ было параллельно плоскости $z = 0$. Так как ни одна из образующих не параллельна этой плоскости, точки $A, B, C$ и $D$ не будут лежать на одной прямой.
3°. Чтобы исключить случай параллелограмма, достаточно обеспечить неравенство $AB \neq CD$. Заметим, что $AB = \frac{p}{ \sin \phi}$ и $CD = \frac{q}{ \sin \psi}$, где $p$ - расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, $q$ - расстояние между плоскостями $\gamma$ и $\sigma$, $\phi$ - угол между направлением $\vec {v}$ и плоскостью $\alpha, \psi$ - угол между направлением $\vec {v}$ и плоскостью $\gamma$.
Итак, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
$\sin \phi < \frac{p}{q} \sin \psi$. (2)
Пусть $f$ - прямая пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $z = 0$. Пусть сначала $f$ не параллельна плоскости $\gamma$. Если взять вектор $vec{v}$ параллельным прямой $f$, то $\phi = 0, \psi = 0$. Если этот вектор чуть-чуть пошевелить так, чтобы он оставался параллельным плоскости $z = 0$, то условие (2) сохранится в силу непрерывности, и соответствующие точки $A, B, C$ и $D$ будут вершинами трапеции.
Если $f$ параллельна плоскости $\gamma$, то рассмотрим любую такую плоскость $\xi$, что угол между ней и плоскостью
$z = 0$ меньше, чем $\pi/4$, и прямая $\alpha \cap \xi$ не параллельна плоскости $\gamma$. Можно убедиться, что такая плоскость тоже не параллельна ни одной из образующих (достаточно проверить, что угол между любой из образующих и плоскостью $z = 0$ равен $\pi/4$). Осталось повторить предыдущую конструкцию с плоскостью вместо плоскости $z = 0$.
4°. Пусть теперь все плоскости $\alpha, \beta, \gamma, \sigma$ параллельны, тогда ($\phi = \psi$ для любого направления $\vec {v}$, и для выполнения неравенства $AB \neq CD$ достаточно неравенства $p = q$, которого всегда можно добиться, переобозначив прямые.
Чтобы точки $A, B, C$ и $D$ не лежали на одной прямой, поступим следующим образом.
Рассмотрим гиперболический параболоид $xy = z$ (рис.). На нем тоже имеется два семейства образующих, причем образующие одного семейства параллельны плоскости $x = 0$, а образующие другого - плоскости $y = 0$.
Пусть плоскости $\alpha^{ \prime}, \beta^{ \prime}$ и $\gamma^{ \prime}$ параллельны плоскости $x = 0$, а расстояния между ними такие же, как и между плоскостями #\alpha, \beta$ и $\gamma$. Каждая из этих плоскостей высекает прямую на параболоиде. Нетрудно видеть, что аффинным преобразованием можно перевести прямые $a, b$ и $c$ в соответствующие прямые на параболоиде. Итак, можно считать, что прямые $a, b$ и $c$ являются образующими параболоида. Теперь достаточно взять вектор $\vec {v}$ не параллельным ни одной из плоскостей $x = 0, y = 0$.
б) Возьмем четыре параллельные плоскости, все попарные расстояния между которыми различны. В каждой из них проведем прямую таким образом, чтобы эти прямые попарно скрещивались. Докажем, что параллелограмма с вершинами на этих прямых не существует. Действительно, длины любых двух параллельных отрезков с концами на этих прямых пропорциональны расстояниям между соответствующими парами плоскостей, а значит, различны.
Ответ: На 9 частей.
