Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3420
2019-06-03 
Радиус описанной окружности треугольника $ABC$ равен радиусу окружности, касающейся стороны $AB$ в точке $C^{ \prime}$ и продолжений двух других сторон в точках $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$.
Решение:
Первый способ. Пусть $O$ и $O^{ \prime}$ - центры соответственно описанной и вневписанной окружностей, упоминающихся в условии задачи (см. факт 16). Будем считать, что $A^{ \prime}$ лежит на луче $CB$, а $B^{ \prime}$ лежит на луче $CA$ (рис. а). Достаточно доказать, что $OA^{ \prime} \perp B^{ \prime}C^{ \prime}$ и $OB^{ \prime} \perp A^{ \prime}C^{ \prime}$. Нетрудно видеть, что $O^{ \prime}A \perp B^{ \prime}C^{ \prime}$. Значит, чтобы доказать перпендикулярность прямых $OA^{ \prime}$ и $B^{ \prime}C^{ \prime}$, достаточно доказать, что $O^{ \prime}A \parallel OA^{ \prime}$. Мы докажем, что
$\angle A^{ \prime}O^{ \prime}A = \angle O^{ \prime}AO$.
Тогда из того, что окружности имеют равные радиусы, следует, что $A^{ \prime}O^{ \prime}AO$ - равнобочная трапеция, и прямые $O^{ \prime}A$ и $OA^{ \prime}$ параллельны.
Из четырехугольника $A^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime}B$ находим
$\angle A^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime} = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A^{ \prime}BC^{ \prime} = 180^{\circ} - \angle A^{ \prime}BC^{ \prime} = \angle B$
и, аналогично, $\angle B^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime} = \angle A$. Следовательно,
$\angle A^{ \prime}O^{ \prime}A = \angle A^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime} + \frac{1}{2} \angle B^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime} = \angle B + \frac{1}{2} \angle A$.
С другой стороны, если $\angle C$ острый, то
$\angle O^{ \prime}AO = \angle O^{ \prime}AB + \angle BAO = \frac{1}{2} \angle B^{ \prime}AC^{ \prime} + (90^{\circ} - \angle C) = 180^{\circ} - \angle C - \frac{1}{2} \angle A = \angle B + \frac{1}{2} \angle A$.
Во втором равенстве мы использовали, что $\angle O$ равнобедренного треугольника $AOB$ равен $2 \angle C$. Проверку того, что если $\angle C$ тупой, то получается такая же формула для $\angle O^{ \prime}AO$, мы оставляем читателю. Итак, $\angle O^{ \prime}AO = \angle A^{ \prime}O^{ \prime}A$. Поэтому $OA^{ \prime} \perp B^{ \prime}C$. Аналогично доказывается, что $OB^{ \prime} \perp AC$. Значит, $O$ - ортоцентр треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$.
Радиус описанной окружности треугольника $ABC$ равен радиусу окружности, касающейся стороны $AB$ в точке $C^{ \prime}$ и продолжений двух других сторон в точках $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$.
Решение:
Первый способ. Пусть $O$ и $O^{ \prime}$ - центры соответственно описанной и вневписанной окружностей, упоминающихся в условии задачи (см. факт 16). Будем считать, что $A^{ \prime}$ лежит на луче $CB$, а $B^{ \prime}$ лежит на луче $CA$ (рис. а). Достаточно доказать, что $OA^{ \prime} \perp B^{ \prime}C^{ \prime}$ и $OB^{ \prime} \perp A^{ \prime}C^{ \prime}$. Нетрудно видеть, что $O^{ \prime}A \perp B^{ \prime}C^{ \prime}$. Значит, чтобы доказать перпендикулярность прямых $OA^{ \prime}$ и $B^{ \prime}C^{ \prime}$, достаточно доказать, что $O^{ \prime}A \parallel OA^{ \prime}$. Мы докажем, что
$\angle A^{ \prime}O^{ \prime}A = \angle O^{ \prime}AO$.
Тогда из того, что окружности имеют равные радиусы, следует, что $A^{ \prime}O^{ \prime}AO$ - равнобочная трапеция, и прямые $O^{ \prime}A$ и $OA^{ \prime}$ параллельны.
Из четырехугольника $A^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime}B$ находим
$\angle A^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime} = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A^{ \prime}BC^{ \prime} = 180^{\circ} - \angle A^{ \prime}BC^{ \prime} = \angle B$
и, аналогично, $\angle B^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime} = \angle A$. Следовательно,
$\angle A^{ \prime}O^{ \prime}A = \angle A^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime} + \frac{1}{2} \angle B^{ \prime}O^{ \prime}C^{ \prime} = \angle B + \frac{1}{2} \angle A$.
С другой стороны, если $\angle C$ острый, то
$\angle O^{ \prime}AO = \angle O^{ \prime}AB + \angle BAO = \frac{1}{2} \angle B^{ \prime}AC^{ \prime} + (90^{\circ} - \angle C) = 180^{\circ} - \angle C - \frac{1}{2} \angle A = \angle B + \frac{1}{2} \angle A$.
Во втором равенстве мы использовали, что $\angle O$ равнобедренного треугольника $AOB$ равен $2 \angle C$. Проверку того, что если $\angle C$ тупой, то получается такая же формула для $\angle O^{ \prime}AO$, мы оставляем читателю. Итак, $\angle O^{ \prime}AO = \angle A^{ \prime}O^{ \prime}A$. Поэтому $OA^{ \prime} \perp B^{ \prime}C$. Аналогично доказывается, что $OB^{ \prime} \perp AC$. Значит, $O$ - ортоцентр треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$.
