2014-06-07
Куб в пространстве с прямоугольной системой координат расположен так, что координаты некоторых 4 его вершин, не лежащих в одной плоскости, являются целыми числами. Доказать, что все вершины куба имеют целые координаты.
Решение:
Предположим сначала, что три из четырех данных вершин куба
$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime}A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}$
(см. рис.) лежат в одной грани. Пусть для определенности ими являются точки $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, тогда вершина $A_{4}$ также имеет целые координаты, так как координаты вектора $\overrightarrow{A_{3}A_{4}} = \overrightarrow{A_{2}A_{1}}$ являются целыми. Следовательно, какой бы ни оказалась четвертая из данных вершин, $A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, A_{3}^{\prime}$ или $A_{3}^{\prime}$, координаты всех остальных вершин куба являются целыми, поскольку
$\overrightarrow{A_{1}A_{1}^{\prime}} = \overrightarrow{A_{2}A_{2}^{\prime}} = \overrightarrow{A_{3}A_{3}^{\prime}} = \overrightarrow{A_{4}A_{4}^{\prime}}$.
Предположим теперь, что никакие три из данных четырех вершин не лежат в одной грани. Так как эти вершины по условию не лежат в одной плоскости, то они являются вершинами правильного тетраэдра, ребра которого- диагонали граней куба. Пусть для определенности это вершины $A_{1}, A_{2}^{\prime}, A_{3}, A_{4}^{\prime}$. Докажем, что вектор $\overrightarrow{A_{1}A_{3}^{\prime}}$ имеет целые координаты. Действительно, рассмотрим вектор
$2 \overrightarrow{A_{1}A_{3}^{\prime}} = \overrightarrow{A_{1}A_{2}^{\prime}} + \overrightarrow{A_{1}A_{3}} + \overrightarrow{A_{1}A_{3}^{\prime}}$,
который имеет целые координаты $x, y, z$. Обозначим
$(\overrightarrow{A_{1}A_{2}^{\prime}})^{2} = (\overrightarrow{A_{1}A_{3}^{\prime}})^{2} = (\overrightarrow{A_{1}A_{4}^{\prime}})^{2} = a$,
$\overrightarrow{A_{1}A_{2}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A_{1}A_{3}} = \overrightarrow{A_{1}A_{2}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A_{1}A_{4}^{\prime}} = \overrightarrow{A_{1}A_{3}} \cdot \overrightarrow{A_{1}A_{4}^{\prime}} = a \cos 60^{\circ} = a/2 = b$,
тогда $a, b \in \mathbf{Z}$ и
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (2 \overrightarrow{A_{1}A_{2}})^{2} = 3a + 3 \cdot 2b = 12b \equiv 0 (\mod 4)$.
Так как квадрат четного числа дает при делении на 4 остаток 0, а квадрат нечетного числа – остаток 1, то остаток при делении на 4 числа $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ равен количеству нечетных чисел среди чисел $x, y, z$. Таким образом, все координаты $x, y, z$ вектора $2 \overrightarrow{A_{1}A_{3}^{\prime}}$ - четные числа, а координаты вектора $\overrightarrow{A_{1}A_{3}^{\prime}}$ - целые числа. Поэтому точка $A_{3}^{\prime}$, лежащая в одной грани с точками $A_{2}^{\prime}, A_{4}^{\prime}$, имеет целые координаты и, согласно доказанному вначале утверждению, координаты всех вершин куба являются целыми.