Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3418
2019-06-03 
Существует ли тетраэдр, все грани которого - равные прямоугольные треугольники?
Решение:
Предположим, что существует такой тетраэдр $ABCD$ (рис.). Пусть $AB$ - гипотенуза треугольника $ABC$. Тогда $AB$ является также и гипотенузой треугольника $ABD$. Нетрудно видеть, что в этом случае $CD$ - гипотенуза треугольников $ACD$ и $BCD$. Середину гипотенузы $CD$ обозначим через $M$. Так как треугольники $ACD$ и $BCD$ прямоугольные,
$AM = BM = \frac{CD}{2} = \frac{AB}{2}$
Точки $A, M$ и $B$ не могут лежать на одной прямой, ибо тогда точки $A, B, C$ и $D$ лежали бы в одной плоскости. Рассмотрим треугольник $AMB$. Для него должно выполняться неравенство треугольника: $AB < AM + MB$. Однако
$AB = \frac{AB}{2} + \frac{AB}{2} = AM + MB$.
Противоречие.
Ответ: Нет, не существует.
Существует ли тетраэдр, все грани которого - равные прямоугольные треугольники?
Решение:
Предположим, что существует такой тетраэдр $ABCD$ (рис.). Пусть $AB$ - гипотенуза треугольника $ABC$. Тогда $AB$ является также и гипотенузой треугольника $ABD$. Нетрудно видеть, что в этом случае $CD$ - гипотенуза треугольников $ACD$ и $BCD$. Середину гипотенузы $CD$ обозначим через $M$. Так как треугольники $ACD$ и $BCD$ прямоугольные,
$AM = BM = \frac{CD}{2} = \frac{AB}{2}$
Точки $A, M$ и $B$ не могут лежать на одной прямой, ибо тогда точки $A, B, C$ и $D$ лежали бы в одной плоскости. Рассмотрим треугольник $AMB$. Для него должно выполняться неравенство треугольника: $AB < AM + MB$. Однако
$AB = \frac{AB}{2} + \frac{AB}{2} = AM + MB$.
Противоречие.
Ответ: Нет, не существует.
