Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3414
2019-06-03 
Пусть $l_a, l_b$ и $1_с$ - длины биссектрис углов $A, B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $ma, m_b$ и $m_с$ - длины соответствующих медиан. Докажите, что
$\frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} + \frac{l_с}{m_c} > 1$.
Решение:
Пусть $a, b$, и $c$ - длины сторон треугольника $ABC$. Без ограничения общности можно считать, что $a \leq b \leq c$. Пусть $I$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ (рис.). Тогда
$\frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} + \frac{l_c}{m_c} > \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} \geq \frac{l_a + l_b}{c} > \frac{AI + IB}{c} > 1$.
Здесь второе неравенство выполнено, поскольку любой отрезок внутри треугольника (в частности, любая медиана) не превосходит наибольшей стороны. Третье неравенство выполнено, поскольку $l_a > AI$ и $l_b > BI$. Последнее неравенство выполнено в силу неравенства треугольника для треугольника $AIB$.
Пусть $l_a, l_b$ и $1_с$ - длины биссектрис углов $A, B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $ma, m_b$ и $m_с$ - длины соответствующих медиан. Докажите, что
$\frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} + \frac{l_с}{m_c} > 1$.
Решение:
Пусть $a, b$, и $c$ - длины сторон треугольника $ABC$. Без ограничения общности можно считать, что $a \leq b \leq c$. Пусть $I$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ (рис.). Тогда
$\frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} + \frac{l_c}{m_c} > \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} \geq \frac{l_a + l_b}{c} > \frac{AI + IB}{c} > 1$.
Здесь второе неравенство выполнено, поскольку любой отрезок внутри треугольника (в частности, любая медиана) не превосходит наибольшей стороны. Третье неравенство выполнено, поскольку $l_a > AI$ и $l_b > BI$. Последнее неравенство выполнено в силу неравенства треугольника для треугольника $AIB$.
