2014-06-07
Рассматриваются повороты вокруг различных осей в пространстве, переводящие вершину $A$ куба $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ - в вершину $B$. Найти геометрическое место точек поверхности этого куба, являющихся образами вершины $C$ при таких поворотах.
Решение:
Прямая $l$ может служить осью поворота, переводящего точку А в точку В тогда и только тогда, когда точки А и В имеют общую проекцию О на эту прямую и равноудалены от нее, т. е. когда прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha_{1}$, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно ему. Поворот вокруг такой прямой $l$ на угол $\phi$ совпадает с результатом последовательного применения симметрии относительно плоскости $\alpha_{1}$, а затем относительно плоскости $\alpha_{2}$, являющейся образом плоскости $\alpha_{1}$ при повороте вокруг прямой $l$ на угол $\phi/2$ (в том же направлении). Для доказательства этого факта достаточно заметить, что. например, в плоскости АВО (которая перпендикулярна оси $l$) поворот вокруг точки О на угол $\phi$ совпадает с результатом двух симметрии: относительно прямых $l_{1}$ и $l_{2}$, лежащих в пересечении плоскости АВО с плоскостями $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ соответственно. Поскольку симметрия относительно плоскости $\alpha_{1}$ уже переводит точку А в точку В, то плоскость $\alpha_{2}$ для рассматриваемых в задаче поворотов (и только для них) проходит через точку В. Следовательно, все образы точки С при рассматриваемых поворотах можно получить следующим образом: сначала симметрично отразить вершину С относительно плоскости $\alpha_{1}$ (получив вершину D), а затем – относительно произвольной плоскости $\alpha_{2}$, проходящей через точку В и не параллельной плоскости $\alpha_{1}$. Поэтому образы точки С заполняют сферу с центром В и радиусом ВD, за исключением точки, симметричной точке D относительно плоскости $BCC^{\prime}$, а значит, не лежащей на поверхности куба. Таким образом, искомое множество есть пересечение этой сферы с гранями куба и состоит из трех дуг $DA^{\prime}, A^{\prime}C^{\prime}, C^{\prime}D$ окружностей с центрами в точках $A, B^{\prime}, C$ соответственно и радиусами, равными ребру куба (рис.).