Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3408
2019-06-03 
Курс акций компании «Рога и копыта» каждый день в $12^{00}$ повышается или понижается на $n$ процентов, где $n$ - фиксированное целое положительное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли $n$, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?
Решение:
Первый способ. Заметим, что при повышении курса акций он умножается на $1 + \frac{n}{100}$, а при понижении - на $1 - \frac{n}{100}$. Следовательно, после $k$ повышений и l понижений курс акций умножится на
$\left (1 + \frac{n}{100} \right )^k \left ( 1 - \frac{n}{100} \right )^l$. (1)
Докажем, что это число не может быть равно единице. Для этого запишем дробь $\frac{n}{100}$ в виде несократимой дроби $\frac{a}{b}$, где $b > 1$. Тогда $1 + \frac{n}{100} = \frac{b+a}{b}$ и $1 - \frac{n}{100} = \frac{b-a}{b}$, и (1) запишется так:
$\frac {(b+a)^k (b-a)^l}{b^{k+l}}$. (2)
Так как дробь $\frac{a}{b}$ несократима, числа $b+a$ и $b$ взаимно просты, числа $b-a$ и $b$ тоже взаимно просты. Следовательно, дробь (2) также несократима, а значит, не равна единице, что и требовалось доказать.
Второй способ. Условие, что выражение (1) равно единице, можно записать так:
$(100+n)^k(100-n)^l = 100^{k+l}$.
Так как правая часть четна, то и левая часть должна быть четна, значит, $n$ четно (см. факт 23). Аналогично, левая часть делится на 5, значит, $n$ делится на 5. Значит, $n$ делится на 10. Можно перебрать все 9 возможных вариантов: $n = 10, 20, \cdots , 90$. Например, если $n = 10$, то левая часть делится на 11, что невозможно.
Можно обойтись без перебора: пусть $n$ не делится на 25. Тогда числа $100-n$ и $100+n$ тоже не делятся на 25. Значит, пятерка входит в разложение левой части на простые множители ровно $k+l$ раз. Но она входит в разложение правой части $2(k+l)$ раз - противоречие. Итак, $n$ делится на 25. Аналогично доказывается, что $n$ делится на 4. Но тогда $n$ делится на 100, что невозможно, ибо $0 < n < 100$.
Курс акций компании «Рога и копыта» каждый день в $12^{00}$ повышается или понижается на $n$ процентов, где $n$ - фиксированное целое положительное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли $n$, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?
Решение:
Первый способ. Заметим, что при повышении курса акций он умножается на $1 + \frac{n}{100}$, а при понижении - на $1 - \frac{n}{100}$. Следовательно, после $k$ повышений и l понижений курс акций умножится на
$\left (1 + \frac{n}{100} \right )^k \left ( 1 - \frac{n}{100} \right )^l$. (1)
Докажем, что это число не может быть равно единице. Для этого запишем дробь $\frac{n}{100}$ в виде несократимой дроби $\frac{a}{b}$, где $b > 1$. Тогда $1 + \frac{n}{100} = \frac{b+a}{b}$ и $1 - \frac{n}{100} = \frac{b-a}{b}$, и (1) запишется так:
$\frac {(b+a)^k (b-a)^l}{b^{k+l}}$. (2)
Так как дробь $\frac{a}{b}$ несократима, числа $b+a$ и $b$ взаимно просты, числа $b-a$ и $b$ тоже взаимно просты. Следовательно, дробь (2) также несократима, а значит, не равна единице, что и требовалось доказать.
Второй способ. Условие, что выражение (1) равно единице, можно записать так:
$(100+n)^k(100-n)^l = 100^{k+l}$.
Так как правая часть четна, то и левая часть должна быть четна, значит, $n$ четно (см. факт 23). Аналогично, левая часть делится на 5, значит, $n$ делится на 5. Значит, $n$ делится на 10. Можно перебрать все 9 возможных вариантов: $n = 10, 20, \cdots , 90$. Например, если $n = 10$, то левая часть делится на 11, что невозможно.
Можно обойтись без перебора: пусть $n$ не делится на 25. Тогда числа $100-n$ и $100+n$ тоже не делятся на 25. Значит, пятерка входит в разложение левой части на простые множители ровно $k+l$ раз. Но она входит в разложение правой части $2(k+l)$ раз - противоречие. Итак, $n$ делится на 25. Аналогично доказывается, что $n$ делится на 4. Но тогда $n$ делится на 100, что невозможно, ибо $0 < n < 100$.
