Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3407
2019-06-03 
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ наименьшая. На сторонах $AB$ и $CB$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно такие, что $KA = AC = CL$. Пусть $M$ - точка пересечения $AL$ и $KC$, а $I$ - центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Докажите, что прямая $MI$ перпендикулярна прямой $AC$.
Решение:
Продлим $AI$ до пересечения с $KC$ в точке $X$ и продлим $CI$ до пересечения с $LA$ в точке $Y$ (рис.). Точка $I$ - центр вписанной окружности - является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Значит, $AX$ - биссектриса в равнобедренном треугольнике $KAC$, проведенная к основанию. Поэтому она является и высотой: $AX \perp KC$. Аналогично, $CY \perp AL$. Таким образом, в треугольнике $AMC$ отрезки $AX$ и $CY$ - высоты. Поскольку прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, $I$ - точка пересечения высот треугольника $AMC$. Следовательно, прямая $MI$ содержит высоту, а значит, она перпендикулярна прямой $AC$.
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ наименьшая. На сторонах $AB$ и $CB$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно такие, что $KA = AC = CL$. Пусть $M$ - точка пересечения $AL$ и $KC$, а $I$ - центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Докажите, что прямая $MI$ перпендикулярна прямой $AC$.
Решение:
Продлим $AI$ до пересечения с $KC$ в точке $X$ и продлим $CI$ до пересечения с $LA$ в точке $Y$ (рис.). Точка $I$ - центр вписанной окружности - является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Значит, $AX$ - биссектриса в равнобедренном треугольнике $KAC$, проведенная к основанию. Поэтому она является и высотой: $AX \perp KC$. Аналогично, $CY \perp AL$. Таким образом, в треугольнике $AMC$ отрезки $AX$ и $CY$ - высоты. Поскольку прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, $I$ - точка пересечения высот треугольника $AMC$. Следовательно, прямая $MI$ содержит высоту, а значит, она перпендикулярна прямой $AC$.
