Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3405
2019-06-03 
У квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ коэффициенты $p$ и $q$ увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.
Решение:
Нетрудно проверить, что корнями уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ являются -1 и -2. После увеличения коэффициентов на единицу получится уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$ с корнями -1 и -3, потом уравнение с корнями -1 и -4, затем - с корнями -1 и -5, и, наконец, уравнение с корнями -1 и -6.
Чтобы проверить вышесказанное, придется решить 5 квадратных уравнений. Вместо этого можно воспользоваться теоремой Виета. Все наши уравнения имеют вид
$x + (p + 1)x + p = 0$,
где $p$ - целое число. Тогда, по обратной теореме Виета, корнями этого уравнения будут целые числа -1 и $-p$:
$(-1) + (-p) = - (p + 1)$, $(-1)(-p) = p$.
Ответ: Например, $x^2 + 3x + 2 = 0$.
У квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ коэффициенты $p$ и $q$ увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.
Решение:
Нетрудно проверить, что корнями уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ являются -1 и -2. После увеличения коэффициентов на единицу получится уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$ с корнями -1 и -3, потом уравнение с корнями -1 и -4, затем - с корнями -1 и -5, и, наконец, уравнение с корнями -1 и -6.
Чтобы проверить вышесказанное, придется решить 5 квадратных уравнений. Вместо этого можно воспользоваться теоремой Виета. Все наши уравнения имеют вид
$x + (p + 1)x + p = 0$,
где $p$ - целое число. Тогда, по обратной теореме Виета, корнями этого уравнения будут целые числа -1 и $-p$:
$(-1) + (-p) = - (p + 1)$, $(-1)(-p) = p$.
Ответ: Например, $x^2 + 3x + 2 = 0$.
