Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3402
2019-06-03 
У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?
Решение:
Для каждой из граней рассмотрим вектор внешней нормали, т. е. вектор, перпендикулярный этой грани и направленный вовне многогранника.
1. Докажем, что угол между любыми двумя внешними нормалями тупой или развернутый. Пусть это не так - нашлись две грани $Г_1$ и $Г_2$, внешние нормали к которым образуют угол не больше $\pi/2$. Тогда грани $Г_1$ и $Г_2$ принадлежат полуплоскостям $П_1$ и $П_2$, которые образуют двугранный угол величиной не меньше $\pi/2$.
Возьмем точку $P$ на грани $Г_2$. Пусть $P^{ \prime}$ - проекция точки $P$ на плоскость грани $Г_1$. Так как угол между внешними нормалями к граням $Г_1$ и $Г_2$ не больше чем $\pi/2$, а наш многогранник - выпуклый, точка $P^{ \prime}$ лежит вне многоугольника $Г_1$. Следовательно, найдется прямая, содержащая некоторое ребро $r$ внутри острого двугранного угла, соответствующего ребру $r$, но $P$ лежит вне этого двугранного угла (рис.). Противоречие.
2. Остается показать, что в пространстве не существует более четырех векторов, попарные углы между которыми тупые или развернутые.
Пусть это не так, и $\vec{u_0}, \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}, \vec{u_4}$ - пять векторов, попарные углы между которыми тупые или развернутые. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось $O_z$ была сонаправлена с $\vec{u_0}$.
Обозначим через $\vec{v_i}$ проекцию вектора $\vec{u_i}$ на плоскость $Oxy$. Пусть $\vec{u_i} =(x_i, y_i, z_i)$, тогда $x_0 = y_0 = 0, z_0 > 0$ и $v_0 = 0$.
Условие, что все углы - тупые или развернутые, равносильно тому, что все скалярные произведения отрицательны. В частности,
$z_0z_i =( \vec{u_0}, \vec{u_i})<0$,
откуда $z_i < 0$ при $1 \leq i \leq 4$. Значит, $z_iz_j > 0$ при $1 \leq i, j \leq 4$, так что
$(\vec{v_i}, \vec{v_j})=(\vec{u_i}, \vec{u_j})- z_iz_j < (\vec{u_i}, \vec{u_j}) < 0$
при $i \neq j, i, j > 0$. Значит, $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ - четыре вектора на плоскости, углы между которыми тупые или развернутые. Но это невозможно.
Итак, у многогранника четыре грани. Заметим, что многогранник с четырьмя гранями может быть только тетраэдром.
Идея другого решения. Сначала докажем, что в каждой вершине многогранника сходятся три грани. Для этого достаточно доказать, что сумма двугранных углов любого $n$-гранного угла больше, чем $\pi (n-2)$. Так как $n$-гранный угол можно разрезать на $n-2$ трехгранных, достаточно доказать это утверждение для трехгранного угла. Теперь можно показать, что все плоские углы при каждой из вершин тоже острые. Из этого нетрудно вывести, что все грани - треугольники. Теперь уже нетрудно убедиться, что многогранник является тетраэдром.
Ответ: Многогранник является тетраэдром и у него 4 грани.
У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?
Решение:
Для каждой из граней рассмотрим вектор внешней нормали, т. е. вектор, перпендикулярный этой грани и направленный вовне многогранника.
1. Докажем, что угол между любыми двумя внешними нормалями тупой или развернутый. Пусть это не так - нашлись две грани $Г_1$ и $Г_2$, внешние нормали к которым образуют угол не больше $\pi/2$. Тогда грани $Г_1$ и $Г_2$ принадлежат полуплоскостям $П_1$ и $П_2$, которые образуют двугранный угол величиной не меньше $\pi/2$.
Возьмем точку $P$ на грани $Г_2$. Пусть $P^{ \prime}$ - проекция точки $P$ на плоскость грани $Г_1$. Так как угол между внешними нормалями к граням $Г_1$ и $Г_2$ не больше чем $\pi/2$, а наш многогранник - выпуклый, точка $P^{ \prime}$ лежит вне многоугольника $Г_1$. Следовательно, найдется прямая, содержащая некоторое ребро $r$ внутри острого двугранного угла, соответствующего ребру $r$, но $P$ лежит вне этого двугранного угла (рис.). Противоречие.
2. Остается показать, что в пространстве не существует более четырех векторов, попарные углы между которыми тупые или развернутые.
Пусть это не так, и $\vec{u_0}, \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}, \vec{u_4}$ - пять векторов, попарные углы между которыми тупые или развернутые. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось $O_z$ была сонаправлена с $\vec{u_0}$.
Обозначим через $\vec{v_i}$ проекцию вектора $\vec{u_i}$ на плоскость $Oxy$. Пусть $\vec{u_i} =(x_i, y_i, z_i)$, тогда $x_0 = y_0 = 0, z_0 > 0$ и $v_0 = 0$.
Условие, что все углы - тупые или развернутые, равносильно тому, что все скалярные произведения отрицательны. В частности,
$z_0z_i =( \vec{u_0}, \vec{u_i})<0$,
откуда $z_i < 0$ при $1 \leq i \leq 4$. Значит, $z_iz_j > 0$ при $1 \leq i, j \leq 4$, так что
$(\vec{v_i}, \vec{v_j})=(\vec{u_i}, \vec{u_j})- z_iz_j < (\vec{u_i}, \vec{u_j}) < 0$
при $i \neq j, i, j > 0$. Значит, $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ - четыре вектора на плоскости, углы между которыми тупые или развернутые. Но это невозможно.
Итак, у многогранника четыре грани. Заметим, что многогранник с четырьмя гранями может быть только тетраэдром.
Идея другого решения. Сначала докажем, что в каждой вершине многогранника сходятся три грани. Для этого достаточно доказать, что сумма двугранных углов любого $n$-гранного угла больше, чем $\pi (n-2)$. Так как $n$-гранный угол можно разрезать на $n-2$ трехгранных, достаточно доказать это утверждение для трехгранного угла. Теперь можно показать, что все плоские углы при каждой из вершин тоже острые. Из этого нетрудно вывести, что все грани - треугольники. Теперь уже нетрудно убедиться, что многогранник является тетраэдром.
Ответ: Многогранник является тетраэдром и у него 4 грани.
