ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-06-03   
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Точки $P$ и $Q$ симметричны точке $C$ относительно прямых $AB$ и $AD$ соответственно. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через ортоцентр (точку пересечения высот) $H$ треугольника $ABD$.


Решение:



Пусть $U$ и $V$ - точки, симметричные $H$ относительно $AB$ и $AD$ соответственно, $X$ - точка пересечения прямых $UC$ и $AB, Y$ - точка пересечения прямых $VC$ и $AD$. Прежде всего отметим, что точки $U$ и $V$ лежат на описанной окружности четырехугольника
(рис.). Для доказательства заметим, что

$\angle AUB = \angle AHB = \angle ADB$.

Значит, точка $U$ лежит на указанной окружности по теореме, обратной к теореме об углах, вписанных в окружность. Доказательство для точки $V$ аналогично.

Как следствие,

$\angle XHY = \angle XHU + \angle UHV + \angle VHY = \angle DUC + \angle DHB + \angle CVB = \angle DAC + \pi - \angle DAB + \angle CAB = \pi$.

Значит, точки $X, H, Y$ лежат на одной прямой.

Симметрия относительно прямой $AB$ показывает, что прямая $PH$ проходит через $X$, а $QH$ - через $Y$. Утверждение задачи доказано.