2014-06-07
На плоскостях $\alpha$ и $\alpha^{\prime}$, пересекающихся по прямой $l$, выбрано но три точки: $A, B, C$ и $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ соответственно. Плоскость $\alpha^{\prime}$ вращается вокруг прямой $l$. Доказать, что если прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ пересекаются в одной точке при некотором положении плоскости $\alpha^{\prime}$, то и при любом ее положении, отличном от плоскости $\alpha$, они также пересекаются в одной точке. Найти геометрическое место этих точек пересечения.
Решение:
Докажем, что в условиях задачи прямые $AA^{\prime}$ и $BB^{\prime}$ пересекаются при любом положении плоскости $\alpha^{\prime}$. Так как в начальном положении эти прямые пересекаются, то точки $A, A^{\prime}, B, B^{\prime}$ лежат в одной плоскости. Поэтому прямые $AB$ и $A^{\prime}B^{\prime}$ либо пересекаются, либо параллельны. В первом случае (рис.) точка О их пересечения лежит на прямой $l$, причем
$OA \cdot OB^{\prime} \neq OB \cdot OA^{\prime}$
(ибо прямые $AA^{\prime}$ и $BB^{\prime}$ не параллельны). Так как те же условия будут выполнены и для других положений $\alpha^{\prime}$, то прямые $AA^{\prime}$ и $BB^{\prime}$ по-прежнему будут пересекаться. Во втором случае прямые $AB \parallel A^{\prime}B^{\prime}$ параллельны прямой $l$, причем $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$, что сохраняется при вращении плоскости $\alpha^{\prime}$. Следовательно, и в этом случае прямые $AA^{\prime}$ и $BB^{\prime}$ пересекаются при любом положении $\alpha^{\prime}$. Если прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ в начальный момент не лежат н одной плоскости и пересекаются в одной точке, то при любом положении $\alpha^{\prime}$, отличном от $\alpha$, они также не лежат в одной плоскости и. согласно доказанному выше, попарно пересекаются, а значит, имеют общую точку пересечения. Наконец, если прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ в начальный момент лежат и одной плоскости, то рассмотрим четвертую прямую $DD^{\prime}$, проходящую через точку их пересечения, но не лежащую в той же плоскости. Тогда прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, DD^{\prime}$ пересекаются в одной точке и прямые $AA^{\prime}, CC^{\prime}, DD^{\prime}$ также пересекаются в одной точке, причем эти точки совпадают с точкой пересечения прямых $AA^{\prime}, DD^{\prime}$. Поэтому прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ пересекаются в одной точке при любом положении $\alpha^{\prime}$, отличном от $\alpha$. Через точку $M = M_{0}$ пересечения данных прямых в начальном положении проведем плоскость $\beta$, перпендикулярную прямой $l$, и заметим, что точка М не покидает эту плоскость при вращении плоскости $\alpha^{\prime}$. В плоскости $\beta$ проведем прямую $f$ проходящую через точку М параллельно плоскости $\alpha^{\prime}$, и докажем, что точка F ее пересечения с плоскостью $\alpha$ не зависит от положения $\alpha^{\prime}$. Если в начальном положении - это точка $F_{0}$, а в другом - $F_{1}$, то в последнем положении плоскости $\alpha^{\prime}$ прямая $MF_{0} (M \neq F_{0}$, иначе $F_{0}= M = F_{1}$) пересекает плоскость $\alpha^{\prime}$ в некоторой точке $F^{\prime}$. Следовательно, согласно доказанному выше, в начальном положении прямая $F_{0}F^{\prime}$ также проходит через точку М, т.е. совпадает с прямой $f$, однако не параллельна плоскости $\alpha^{\prime}$. Аналогично доказывается, что точка $G$ пересечения плоскости $\alpha^{\prime}$ с прямой $g$, проходящей через точку М параллельно плоскости $\alpha$, поворачивается вместе с плоскостью $\alpha$, занимая фиксированное положение на ней. Таким образом, при вращении плоскости $\alpha^{\prime}$ точка М вращается вокруг точки $F$, находясь от нее на постоянном расстоянии (равном расстоянию от точки $G$ до прямой $l$) и образуя тот же угол с плоскостью $\alpha$, что и плоскость $\alpha^{\prime}$. Поэтому искомое множество есть окружность в плоскости $\beta$ с центром $F$ и радиусом $FM_{0}$ (возможно, нулевым), из которой выброшены две диаметрально противоположные точки, принадлежащие плоскости $\alpha$.