Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3398
2019-06-03 
Для положительных чисел $x, y, z$ выполнено равенство
$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x} = \frac{x^2}{z} + \frac{z^2}{y} + \frac{y^2}{x}$
Докажите, что хотя бы два из чисел $x, y, z$ равны между собой.
Решение:
Освободившись от знаменателя, приведем наше равенство к виду
$x^3z - x^3y + z^3y - z^3x + y^3x - y^3z = 0$. (1)
Разложим левую часть на множители:
$x^3z - x^3y + z^3y - z^3x + y^3 x - y^3 z = x^3(z - y) + z^3(y - x) + y^3 (x - z) = x^3((z - x) + (x - y)) + z^3 (y - x) + y^3 (x - z) = x^3(z - x) + y^3 (x - z) + x^3(x - y) + z^3(y - x) = (z - x)(x^3 - y^3) + (x - y)(x^3 - z^3) = (z - x)(x - y)(x^2 + xy + y^2) + (x - y)(x - z)(x^2 + xz + z^2) = (x - y)(x - z) (xz + z^2 - xy - y^2) = (x - y)(x - z)(z - y)(x + y + z)$.
Заметим, что при положительных $x, y, z$ выражение в последней скобке положительно. Таким образом, если все числа различны, то все множители отличны от нуля. Поэтому (1) не может выполняться.
Для положительных чисел $x, y, z$ выполнено равенство
$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x} = \frac{x^2}{z} + \frac{z^2}{y} + \frac{y^2}{x}$
Докажите, что хотя бы два из чисел $x, y, z$ равны между собой.
Решение:
Освободившись от знаменателя, приведем наше равенство к виду
$x^3z - x^3y + z^3y - z^3x + y^3x - y^3z = 0$. (1)
Разложим левую часть на множители:
$x^3z - x^3y + z^3y - z^3x + y^3 x - y^3 z = x^3(z - y) + z^3(y - x) + y^3 (x - z) = x^3((z - x) + (x - y)) + z^3 (y - x) + y^3 (x - z) = x^3(z - x) + y^3 (x - z) + x^3(x - y) + z^3(y - x) = (z - x)(x^3 - y^3) + (x - y)(x^3 - z^3) = (z - x)(x - y)(x^2 + xy + y^2) + (x - y)(x - z)(x^2 + xz + z^2) = (x - y)(x - z) (xz + z^2 - xy - y^2) = (x - y)(x - z)(z - y)(x + y + z)$.
Заметим, что при положительных $x, y, z$ выражение в последней скобке положительно. Таким образом, если все числа различны, то все множители отличны от нуля. Поэтому (1) не может выполняться.
