Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3397
2019-06-03 
Дана бесконечная последовательность многочленов $P_1(x), P_2(x), \cdots$. Всегда ли существует конечный набор функций $f_1 (x) , f_2 (x) , \cdots, f_N (x)$, композициями которых можно записать любой из них (например, $P_1 (x) = f_2(f_1(f_2(x))))$?
Решение:
Пусть, например,
$f(x) = \pi + arctg x$,
$g(x) = x + \pi$,
$h(x)$ - функция, которая на интервале $\left ( - \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{ \pi}{2} + \pi n \right )$ равна $P_n (tg x)$ (т.е. график многочлена $P_n$ "сжат" в интервал $\left ( - \frac{ \pi}{2} + \pi n; \frac{ \pi}{2} + \pi n \right )$,рис.).
Тогда
$P_n (x) = h (arctg x + n \pi) = h (g ( g ( \cdots (g (f(x))) \cdots )))$
(функция $g$ используется $n-1$ раз).
Ответ: Всегда существует.
Дана бесконечная последовательность многочленов $P_1(x), P_2(x), \cdots$. Всегда ли существует конечный набор функций $f_1 (x) , f_2 (x) , \cdots, f_N (x)$, композициями которых можно записать любой из них (например, $P_1 (x) = f_2(f_1(f_2(x))))$?
Решение:
Пусть, например,
$f(x) = \pi + arctg x$,
$g(x) = x + \pi$,
$h(x)$ - функция, которая на интервале $\left ( - \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{ \pi}{2} + \pi n \right )$ равна $P_n (tg x)$ (т.е. график многочлена $P_n$ "сжат" в интервал $\left ( - \frac{ \pi}{2} + \pi n; \frac{ \pi}{2} + \pi n \right )$,рис.).
Тогда
$P_n (x) = h (arctg x + n \pi) = h (g ( g ( \cdots (g (f(x))) \cdots )))$
(функция $g$ используется $n-1$ раз).
Ответ: Всегда существует.
