Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3395
2019-06-03 
Пусть $M$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$. На перпендикулярах, опущенных из $M$ на стороны $BC, AC$ и $AB$, взяты точки $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно, причем $A_1B_1 \perp MC$ и $A_1C_1 \perp MB$. Докажите, что $M$ является точкой пересечения медиан и в треугольнике $A_1B_1C_1$.
Решение:
Первый способ. Обозначим
$\vec{BC} = \vec{a}, \vec{CA} = \vec{b}, \vec{AB} = \vec{c}, \vec{MA_1} = \vec{x}, \vec{MB_1} = \vec{y}, \vec{MC_1} = \vec{z}$.
По условию имеем, что следующие скалярные произведения равны нулю:
$(\vec{z}, \vec{c}) = (\vec{x}, \vec{a}) = (\vec{y}, \vec{b}) = 0$, (1)
$((\vec{x} - \vec{y}), (\vec{a} - \vec{b})) = ((\vec{x} - \vec{z}), (\vec{a} - \vec{c})) = 0$. (2)
Раскрывая в (2) скобки и учитывая (1), получим
$(\vec{a}, \vec{y}) + (\vec{b}, \vec{x}) = (\vec{a}, \vec{z}) + (\vec{c}, \vec{x}) = 0$.
Поскольку $\vec{a} = -\vec{b} - \vec{c}$ и $\vec{b} = \vec{-c} - \vec{a}$, получаем:
$0 = (\vec{a}, \vec{y}) + (\vec{b}, \vec{x}) = (\vec{-b} - \vec{c}, \vec{y}) + (\vec{-a} - \vec{c}, \vec{x}) = - (\vec{c}, \vec{y}) - (\vec{c}, \vec{x})$.
Аналогично,
$0 = (\vec{a}, \vec{z}) + (\vec{c}, \vec{x}) = (\vec{-b} - \vec{c}, \vec{z}) + (\vec{-a} - \vec{b}, \vec{x}) = -(\vec{b}, \vec{z}) - (\vec{b}, \vec{x})$.
Нужно доказать, что
$\vec{x} + \vec{y} + \vec{z} = 0$,
для чего достаточно, чтобы
$(\vec{b}, \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{c}, \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = 0$.
Действительно,
$(\vec{b}, \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{b}, \vec{x}) + (\vec{b}, \vec{z}) = 0$,
$(\vec{c}, \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{c}, \vec{x}) + (\vec{c}, \vec{y}) = 0$.
Второй способ. Идея решения состоит в сведении задачи к эквивалентной для некоторой более простой ситуации. (Так, например, в алгебре решают уравнения, сводя их к более простым равносильными преобразованиями.) Сведем задачу аффинными преобразованиями к случаю равностороннего треугольника.
В исходном треугольнике точки $A_1, B_1$ и $C_1$ задаются условиями
$MA_1 \perp BC, MB_1 \perp AC, MC_1 \perp AB, A_1B_1 \perp MC, A_1C_1 \perp MB$.
Повернув треугольник $A_1B_1C_1$ вокруг точки $M$ на $90^{\circ}$ против часовой стрелки (рис. а), получим треугольник $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$, причем на точки $A^{ \prime}, B^{ \prime}$ и $C$ будут выполнены условия
$MA^{ \prime} \parallel BC, MB^{ \prime} \parallel AC, MC^{ \prime} \parallel AB, A^{ \prime}B^{ \prime} \parallel MC, A^{ \prime}C^{ \prime} \parallel MB$. (3)
При этом медианы треугольника $A_1B_1C_1$ пересекаются в точке $M$ тогда и только тогда, когда медианы треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ пересекаются в точке $M$. Проведем аффинное преобразование, переводящее треугольник $ABC$ в равносторонний. При аффинном преобразовании точки пересечения отрезков переходят в пересечения их образов, а параллельные прямые - в параллельные.
Итак, если вместо точек $M, A, B, C, A^{ \prime}, B^{ \prime}, C^{ \prime}$ взять точки, получившиеся из них после аффинного преобразования, то условия (3) будут выполняться. Поэтому достаточно доказать, что из условий (3) следует, что медианы треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ пересекаются в точке $M$ в предположении, что треугольник $ABC$ равносторонний.
В этом случае медиана $MC$ образует равные углы со сторонами $AC$ и $BC$. Тогда из 1-го, 2-го и 4-го условий (3) следует, что $A^{ \prime}MB^{ \prime}$ - равнобедренный треугольник (рис. б). Аналогично, $A^{ \prime}M = C^{ \prime}M$. Теперь уже нетрудно понять, что треугольник $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ равносторонний, а $M$ - его центр.
Пусть $M$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$. На перпендикулярах, опущенных из $M$ на стороны $BC, AC$ и $AB$, взяты точки $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно, причем $A_1B_1 \perp MC$ и $A_1C_1 \perp MB$. Докажите, что $M$ является точкой пересечения медиан и в треугольнике $A_1B_1C_1$.
Решение:
Первый способ. Обозначим
$\vec{BC} = \vec{a}, \vec{CA} = \vec{b}, \vec{AB} = \vec{c}, \vec{MA_1} = \vec{x}, \vec{MB_1} = \vec{y}, \vec{MC_1} = \vec{z}$.
По условию имеем, что следующие скалярные произведения равны нулю:
$(\vec{z}, \vec{c}) = (\vec{x}, \vec{a}) = (\vec{y}, \vec{b}) = 0$, (1)
$((\vec{x} - \vec{y}), (\vec{a} - \vec{b})) = ((\vec{x} - \vec{z}), (\vec{a} - \vec{c})) = 0$. (2)
Раскрывая в (2) скобки и учитывая (1), получим
$(\vec{a}, \vec{y}) + (\vec{b}, \vec{x}) = (\vec{a}, \vec{z}) + (\vec{c}, \vec{x}) = 0$.
Поскольку $\vec{a} = -\vec{b} - \vec{c}$ и $\vec{b} = \vec{-c} - \vec{a}$, получаем:
$0 = (\vec{a}, \vec{y}) + (\vec{b}, \vec{x}) = (\vec{-b} - \vec{c}, \vec{y}) + (\vec{-a} - \vec{c}, \vec{x}) = - (\vec{c}, \vec{y}) - (\vec{c}, \vec{x})$.
Аналогично,
$0 = (\vec{a}, \vec{z}) + (\vec{c}, \vec{x}) = (\vec{-b} - \vec{c}, \vec{z}) + (\vec{-a} - \vec{b}, \vec{x}) = -(\vec{b}, \vec{z}) - (\vec{b}, \vec{x})$.
Нужно доказать, что
$\vec{x} + \vec{y} + \vec{z} = 0$,
для чего достаточно, чтобы
$(\vec{b}, \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{c}, \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = 0$.
Действительно,
$(\vec{b}, \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{b}, \vec{x}) + (\vec{b}, \vec{z}) = 0$,
$(\vec{c}, \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{c}, \vec{x}) + (\vec{c}, \vec{y}) = 0$.
Второй способ. Идея решения состоит в сведении задачи к эквивалентной для некоторой более простой ситуации. (Так, например, в алгебре решают уравнения, сводя их к более простым равносильными преобразованиями.) Сведем задачу аффинными преобразованиями к случаю равностороннего треугольника.
В исходном треугольнике точки $A_1, B_1$ и $C_1$ задаются условиями
$MA_1 \perp BC, MB_1 \perp AC, MC_1 \perp AB, A_1B_1 \perp MC, A_1C_1 \perp MB$.
Повернув треугольник $A_1B_1C_1$ вокруг точки $M$ на $90^{\circ}$ против часовой стрелки (рис. а), получим треугольник $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$, причем на точки $A^{ \prime}, B^{ \prime}$ и $C$ будут выполнены условия
$MA^{ \prime} \parallel BC, MB^{ \prime} \parallel AC, MC^{ \prime} \parallel AB, A^{ \prime}B^{ \prime} \parallel MC, A^{ \prime}C^{ \prime} \parallel MB$. (3)
При этом медианы треугольника $A_1B_1C_1$ пересекаются в точке $M$ тогда и только тогда, когда медианы треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ пересекаются в точке $M$. Проведем аффинное преобразование, переводящее треугольник $ABC$ в равносторонний. При аффинном преобразовании точки пересечения отрезков переходят в пересечения их образов, а параллельные прямые - в параллельные.
Итак, если вместо точек $M, A, B, C, A^{ \prime}, B^{ \prime}, C^{ \prime}$ взять точки, получившиеся из них после аффинного преобразования, то условия (3) будут выполняться. Поэтому достаточно доказать, что из условий (3) следует, что медианы треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ пересекаются в точке $M$ в предположении, что треугольник $ABC$ равносторонний.
В этом случае медиана $MC$ образует равные углы со сторонами $AC$ и $BC$. Тогда из 1-го, 2-го и 4-го условий (3) следует, что $A^{ \prime}MB^{ \prime}$ - равнобедренный треугольник (рис. б). Аналогично, $A^{ \prime}M = C^{ \prime}M$. Теперь уже нетрудно понять, что треугольник $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ равносторонний, а $M$ - его центр.
