Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3394
2019-06-03 
Пусть $P(x)$ - многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots$ такова, что $P(a_1) = 0, P(a_2) = a_1, P(a_3) = a_2$, и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь $P(x)$?
Решение:
Если степень многочлена $P(x)$ равна 0, то $P(x) = 1$ (старший коэффициент равен 1). Но тогда $P(a_1) = 0$. Если степень многочлена равна 1, то, например, многочлен $P(x) = x - 1$ и последовательность $1, 2, 3, \cdots (a_n = n)$ удовлетворяют условию задачи.
Докажем, что нет таких многочленов степени 2 и выше. Пусть такой многочлен $P(x)$ существует.
Лемма. Найдется такая положительная константа $C$, что если $|x| > C$, то $|P(x)| > |x|$.
Доказательство. Пусть $P(x) = x^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_2x^2 + b_1x + b_0$. Возьмем $C = |b_{n-1}| + \cdots + |b_1| + |b_0| + 1$. Если $|x| > C$, то
$|P(x)| \geq |x|^n - |b_{n-1} \cdot |x|^{n-1} + \cdots + |b_1| \cdot |x| + |b_0|) \geq |x|^n - (|b_{n-1}| \cdot |x|^{n-1} + \cdots + |b_1| \cdot |x|^{n-1} + |b_0| \cdot |x|^{n-1}) = |x|^{n-1} \cdot (|x| - (|b_{n-1}| + \cdots + |b_0|)) > |x|^{n-1} \geq |x|$
(мы два раза воспользовались тем, что $|x| > 1$). Лемма доказана.
Заметим теперь, что все члены последовательности по модулю ограничены числом $C$. Действительно, если $|a_n| > C$, то $C < |a_n| < |P(a_n)| - |a_{n-1}|$. Продолжая, получим:
$C < |a_n| < |P(a_n)| = |a_{n-1}| < |P(a_{n-1)}| = |a_{n-2}| < \cdots < |P(a_2)| = |a_1| < |P(a_1)| = |0|$,
что неверно.
Мы получили, что все члены последовательности по модулю не превосходят $C$; с другой стороны, по условию задачи все они целые. Но таких чисел только конечное число, значит, в последовательности обязательно будут повторения. Противоречие.
Ответ: Степень многочлена может равняться только 1.
Пусть $P(x)$ - многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots$ такова, что $P(a_1) = 0, P(a_2) = a_1, P(a_3) = a_2$, и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь $P(x)$?
Решение:
Если степень многочлена $P(x)$ равна 0, то $P(x) = 1$ (старший коэффициент равен 1). Но тогда $P(a_1) = 0$. Если степень многочлена равна 1, то, например, многочлен $P(x) = x - 1$ и последовательность $1, 2, 3, \cdots (a_n = n)$ удовлетворяют условию задачи.
Докажем, что нет таких многочленов степени 2 и выше. Пусть такой многочлен $P(x)$ существует.
Лемма. Найдется такая положительная константа $C$, что если $|x| > C$, то $|P(x)| > |x|$.
Доказательство. Пусть $P(x) = x^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_2x^2 + b_1x + b_0$. Возьмем $C = |b_{n-1}| + \cdots + |b_1| + |b_0| + 1$. Если $|x| > C$, то
$|P(x)| \geq |x|^n - |b_{n-1} \cdot |x|^{n-1} + \cdots + |b_1| \cdot |x| + |b_0|) \geq |x|^n - (|b_{n-1}| \cdot |x|^{n-1} + \cdots + |b_1| \cdot |x|^{n-1} + |b_0| \cdot |x|^{n-1}) = |x|^{n-1} \cdot (|x| - (|b_{n-1}| + \cdots + |b_0|)) > |x|^{n-1} \geq |x|$
(мы два раза воспользовались тем, что $|x| > 1$). Лемма доказана.
Заметим теперь, что все члены последовательности по модулю ограничены числом $C$. Действительно, если $|a_n| > C$, то $C < |a_n| < |P(a_n)| - |a_{n-1}|$. Продолжая, получим:
$C < |a_n| < |P(a_n)| = |a_{n-1}| < |P(a_{n-1)}| = |a_{n-2}| < \cdots < |P(a_2)| = |a_1| < |P(a_1)| = |0|$,
что неверно.
Мы получили, что все члены последовательности по модулю не превосходят $C$; с другой стороны, по условию задачи все они целые. Но таких чисел только конечное число, значит, в последовательности обязательно будут повторения. Противоречие.
Ответ: Степень многочлена может равняться только 1.
