Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3393
2019-06-03 
По ребрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечетным числом сторон нечетно.
Решение:
Выберем любую из получившихся частей. Рассмотрим сумму $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$, где $a_{i}$ - количество сторон i-й грани.
Каждое ребро многогранника, по которому ломаная не проходит, посчитано в этой сумме дважды, и поэтому четность суммы не зависит от числа таких ребер.
Каждое ребро, через которое проходит ломаная, входит в сумму ровно один раз. Таких ребер 2003, поэтому вся сумма нечетна.
Если бы количество граней с нечетным числом сторон было четно, то рассмотренная сумма также была бы четна. Значит, это количество нечетно.
По ребрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечетным числом сторон нечетно.
Решение:
Выберем любую из получившихся частей. Рассмотрим сумму $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$, где $a_{i}$ - количество сторон i-й грани.
Каждое ребро многогранника, по которому ломаная не проходит, посчитано в этой сумме дважды, и поэтому четность суммы не зависит от числа таких ребер.
Каждое ребро, через которое проходит ломаная, входит в сумму ровно один раз. Таких ребер 2003, поэтому вся сумма нечетна.
Если бы количество граней с нечетным числом сторон было четно, то рассмотренная сумма также была бы четна. Значит, это количество нечетно.
