Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3392
2019-06-03 
Существуют ли такие натуральные числа $a$, $b$ и $с$, что у каждого из уравнений
$ax^2 + bx + с = 0$, $ax^2 + bx - с = 0$,
$ax^2 - bx + с = 0$, $ax^2 - bx - с = 0$
оба корня - целые?
Решение:
Решение может состоять просто в проверке того, что числа $a = 1, b = 5, c = 6$ действительно удовлетворяют условию. Попробуем объяснить, как можно найти такие числа. Прежде всего, постараемся упростить нашу задачу. Заметим, во-первых, что корни уравнений, отличающихся только знаком при $bx$, противоположны, поэтому достаточно обеспечить лишь, чтобы корни уравнений $ax^{2} + bx + c = 0$ и $ax^{2} + bx - c = 0$ были целыми. Тогда корни уравнений $ax^{2} - bx + c = 0$ и $ax^{2} - bx - c = 0$ окажутся целыми автоматически.
Далее, если $x_{1}$ и $x_{2}$ - целые корни уравнения $ax^{2} + bx + c$, то по теореме Виета $b = - (x_{1} + x_{2})a, c = x_{1}x_{2}a$, т. е. все коэффициенты уравнения можно сократить на $a$, при этом опять получится уравнение с натуральными коэффициентами и такими же корнями. Поэтому без ограничения общности можно считать, что $a = 1$.
Если $x_1$ и $x_2$ - корни первого уравнения, то по теореме Виета $x_1x_2 = с, x_1 + x_2 = -b$. Аналогично, если $у_1$ и $у_2$ - корни второго уравнения, то по теореме Виета $y_1y_2 = -с$, $y_1 + y_2 = -b$. Осталось подобрать такие $x_1, x_2, y_1, у_2$, что
$x_1 + x_2 = y_1 + y_2, x_1x_2 = -y_1y_2$.
Годятся, например, $x_1 = -2, x_2 = -3, у_1 = 1, у_2 = -6$.
Вариант решения. Для того чтобы корни уравнений $x + bx + с = 0$ и $x^2 + bx - с = 0$ были целыми, необходимо, чтобы дискриминанты этих уравнений были точными квадратами: $b^2 - 4c = m^2, b^2 + 4c = n^2$. Это же условие оказывается и достаточным - ведь $b^2 - 4c$ той же четности, что и $b$, а значит и $\sqrt {b^2 - 4c}$ (если этот корень целый) оказывается той же четности (см. факт 23). Тем самым, $x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2}$ (корни уравнения $x^2 + bx + с = 0$) - целые числа. Аналогичное рассуждение верно и для второго уравнения.
На самом деле, таких $b, с, m, n$, что $b^2 - 4c = m^2, b^2 + 4c = n^2$, существует бесконечно много. Для решения задачи достаточно предъявить один пример таких $b, с, m, n$. Покажем, как такой пример можно было подобрать. Исключая $с$, получаем $n^2 - b^2 = b^2 - m^2$, при этом, чтобы с было целым, необходимо, чтобы $b, m$ и $n$ были одной четности. Перебрав квадраты нечетных чисел от 1 до 9, находим одно из решений: $72 - 52 = 52 - 1 = 24; с = 24/4 = 6$. Мы нашли $b$ и $с$ такие, что дискриминанты обоих уравнений - полные квадраты.
Ответ: Да, например, $a = 1, b = 5, с = 6$.
Существуют ли такие натуральные числа $a$, $b$ и $с$, что у каждого из уравнений
$ax^2 + bx + с = 0$, $ax^2 + bx - с = 0$,
$ax^2 - bx + с = 0$, $ax^2 - bx - с = 0$
оба корня - целые?
Решение:
Решение может состоять просто в проверке того, что числа $a = 1, b = 5, c = 6$ действительно удовлетворяют условию. Попробуем объяснить, как можно найти такие числа. Прежде всего, постараемся упростить нашу задачу. Заметим, во-первых, что корни уравнений, отличающихся только знаком при $bx$, противоположны, поэтому достаточно обеспечить лишь, чтобы корни уравнений $ax^{2} + bx + c = 0$ и $ax^{2} + bx - c = 0$ были целыми. Тогда корни уравнений $ax^{2} - bx + c = 0$ и $ax^{2} - bx - c = 0$ окажутся целыми автоматически.
Далее, если $x_{1}$ и $x_{2}$ - целые корни уравнения $ax^{2} + bx + c$, то по теореме Виета $b = - (x_{1} + x_{2})a, c = x_{1}x_{2}a$, т. е. все коэффициенты уравнения можно сократить на $a$, при этом опять получится уравнение с натуральными коэффициентами и такими же корнями. Поэтому без ограничения общности можно считать, что $a = 1$.
Если $x_1$ и $x_2$ - корни первого уравнения, то по теореме Виета $x_1x_2 = с, x_1 + x_2 = -b$. Аналогично, если $у_1$ и $у_2$ - корни второго уравнения, то по теореме Виета $y_1y_2 = -с$, $y_1 + y_2 = -b$. Осталось подобрать такие $x_1, x_2, y_1, у_2$, что
$x_1 + x_2 = y_1 + y_2, x_1x_2 = -y_1y_2$.
Годятся, например, $x_1 = -2, x_2 = -3, у_1 = 1, у_2 = -6$.
Вариант решения. Для того чтобы корни уравнений $x + bx + с = 0$ и $x^2 + bx - с = 0$ были целыми, необходимо, чтобы дискриминанты этих уравнений были точными квадратами: $b^2 - 4c = m^2, b^2 + 4c = n^2$. Это же условие оказывается и достаточным - ведь $b^2 - 4c$ той же четности, что и $b$, а значит и $\sqrt {b^2 - 4c}$ (если этот корень целый) оказывается той же четности (см. факт 23). Тем самым, $x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2}$ (корни уравнения $x^2 + bx + с = 0$) - целые числа. Аналогичное рассуждение верно и для второго уравнения.
На самом деле, таких $b, с, m, n$, что $b^2 - 4c = m^2, b^2 + 4c = n^2$, существует бесконечно много. Для решения задачи достаточно предъявить один пример таких $b, с, m, n$. Покажем, как такой пример можно было подобрать. Исключая $с$, получаем $n^2 - b^2 = b^2 - m^2$, при этом, чтобы с было целым, необходимо, чтобы $b, m$ и $n$ были одной четности. Перебрав квадраты нечетных чисел от 1 до 9, находим одно из решений: $72 - 52 = 52 - 1 = 24; с = 24/4 = 6$. Мы нашли $b$ и $с$ такие, что дискриминанты обоих уравнений - полные квадраты.
Ответ: Да, например, $a = 1, b = 5, с = 6$.
