Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3390
2019-06-03 
В окружность вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. Пусть $K$ - середина дуги $BC$, не содержащей точку $A, N$ - середина отрезка $AC$, $M$ - точка пересечения луча $KN$ с окружностью. В точках $A$ и $C$ проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке $E$. Докажите, что $\angle EMK = 90^{\circ}$.
Решение:
Пусть точка $O$ - центр окружности (рис.). Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, точка $O$ совпадает с серединой гипотенузы $AB$ (см. факт 14). Угол $NOK$ прямой: действительно, средняя линия $NO$ треугольника $ABC$ параллельна его стороне $BC$, а прямая $OK$ содержит высоту равнобедренного треугольника $BOC$ (так как луч $OK$ является биссектрисой угла $BOC$).
Нетрудно видеть, что точки $E, N$ и $O$ лежат на одной прямой. Действительно, прямоугольные треугольники $ECO$ и $EAO$ равны по катету и гипотенузе, поэтому $EO$ - биссектриса угла $AEC$. С другой стороны, треугольник $AEC$ - равнобедренный, так как касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Поскольку отрезок $EN$ - медиана в этом треугольнике, то он также является и биссектрисой. Поэтому лучи $EN$ и $EO$ совпадают как биссектрисы угла $AEC$.
Точки $A, E, C$ и $O$ лежат на одной окружности, так как $\angle ECO = \angle EAO = 90^{\circ}$. Из теоремы о пересекающихся хордах окружности следует, что
$AN \cdot NC = EN \cdot NO$. (1)
Применяя ту же теорему к хордам $AC$ и $MK$ исходной окружности, получаем
$AN \cdot NC = MN \cdot NK$. (2)
Комбинируя (1) и (2), получаем, что
$MN \cdot NK = EN \cdot NO$.
По теореме, обратной к теореме о пересекающихся хордах, получаем, что точки $M, K, E$ и $O$ лежат на одной окружности.
Углы $EMK$ и $EOK$ равны, как опирающиеся на одну дугу. Но угол $EOK$ - прямой, значит, и угол $EMK$ - прямой.
В окружность вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. Пусть $K$ - середина дуги $BC$, не содержащей точку $A, N$ - середина отрезка $AC$, $M$ - точка пересечения луча $KN$ с окружностью. В точках $A$ и $C$ проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке $E$. Докажите, что $\angle EMK = 90^{\circ}$.
Решение:
Пусть точка $O$ - центр окружности (рис.). Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, точка $O$ совпадает с серединой гипотенузы $AB$ (см. факт 14). Угол $NOK$ прямой: действительно, средняя линия $NO$ треугольника $ABC$ параллельна его стороне $BC$, а прямая $OK$ содержит высоту равнобедренного треугольника $BOC$ (так как луч $OK$ является биссектрисой угла $BOC$).
Нетрудно видеть, что точки $E, N$ и $O$ лежат на одной прямой. Действительно, прямоугольные треугольники $ECO$ и $EAO$ равны по катету и гипотенузе, поэтому $EO$ - биссектриса угла $AEC$. С другой стороны, треугольник $AEC$ - равнобедренный, так как касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Поскольку отрезок $EN$ - медиана в этом треугольнике, то он также является и биссектрисой. Поэтому лучи $EN$ и $EO$ совпадают как биссектрисы угла $AEC$.
Точки $A, E, C$ и $O$ лежат на одной окружности, так как $\angle ECO = \angle EAO = 90^{\circ}$. Из теоремы о пересекающихся хордах окружности следует, что
$AN \cdot NC = EN \cdot NO$. (1)
Применяя ту же теорему к хордам $AC$ и $MK$ исходной окружности, получаем
$AN \cdot NC = MN \cdot NK$. (2)
Комбинируя (1) и (2), получаем, что
$MN \cdot NK = EN \cdot NO$.
По теореме, обратной к теореме о пересекающихся хордах, получаем, что точки $M, K, E$ и $O$ лежат на одной окружности.
Углы $EMK$ и $EOK$ равны, как опирающиеся на одну дугу. Но угол $EOK$ - прямой, значит, и угол $EMK$ - прямой.
