2014-06-07
Найти наименьшее число плоскостей, разбивающих куб не менее чем на 300 частей.
Решение:
Докажем индукцией по $n$, что $n$ прямых разбивают плоскость не более чем на
$p(n) = \frac{n(n+1)}{2} + 1$
частей, причем в точности $p(n)$ частей получается, если никакие 2 прямые не параллельны и никакие 3 прямые не проходят через одну точку. Действительно, $p(0) = 1$, и при любом значении $n \in \mathbf{N}$ имеем неравенство
$p(n) \leq p(n-1) + n = \frac{(n - 1)n}{2} + 1 + n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$,
причем равенство достигается (n-я прямая, пересекаясь с каждой из остальных прямых, сама разбивается не более чем на n-частей, каждая из которых определяет новую часть плоскости). Аналогично докажем, что $n$ плоскостей разбивают пространство не более чем на
$q(n) = \frac{n^{3} + 5n + 6}{6}$
частей, причем в точности $q(n)$ частей получается, если никакие 2 плоскости не параллельны, никакие 3 плоскости не проходят через одну прямую и никакие 4 плоскости не проходят через одну точку. Действительно, $q(0) = 1$ и при любом значении $n \in \mathbf{N}$ имеем неравенство
$q(n) \leq q(n-1) + p(n-1) = \frac{(n-1)^{3} + 5(n-1) + 6}{6} + \frac{(n-1)n}{2} + 1 = \frac{n^{3} + 5n +6}{6}$,
причем равенство достигается (n-я плоскость, пересекаясь с остальными плоскостями, сама разбивается не более чем на $p(n - 1)$ частей, каждая из которых определяет новую часть пространства). Искомое число плоскостей равно 13, поскольку
$q(12) = 299 < 300 < 378 = q(13)$.
Действительно, 12 плоскостей не хватает, а 13 плоскостями можно разбить все пространство на $q(13)$ частей, затем выбрать внутри каждой из них по одной точке и взять куб, содержащий все $q(13)$ точек, после чего останется подвергнуть всю конструкцию преобразованию подобия с надлежащим коэффициентом.