Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3383
2019-06-03 
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AC$ и $BC$ взяты точки $X$ и $Y$ такие, что $\angle ABX = \angle YAC, \angle AYB = \angle BXC, XC = YB$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Решение:
Для внешних углов $BXC$ и $AYB$ треугольников $ABX$ и $CAY$ запишем равенства
$\angle BXC = \angle ABX + \angle BAX$,
$\angle AYB = \angle YAC + \angle YCA$
(рис.). Так как по условию $\angle BXC = \angle AYB, \angle ABX = \angle YAC$, получаем, что $ \angle BAX = \angle YCA$, т. е. треугольник $ABC$ является равнобедренным, $AB = BC$.
Лемма. Пусть у треугольников $PQR$ и $P^{ \prime}Q^{ \prime}R^{ \prime}$ равны две стороны и угол не между ними: $PQ = P^{ \prime}Q^{ \prime}, QR = Q^{ \prime}R^{ \prime}, \angle RPQ = \angle R^{ \prime}P^{ \prime}Q^{ \prime}$. Тогда либо треугольники равны, либо $ \angle PRQ + \angle P^{ \prime}R^{ \prime}Q^{ \prime} = 180^{\circ}$.
Доказательство. Отметим на луче $PR$ точку $R_1$ на расстоянии $P^{ \prime}R^{ \prime}$ от точки $P$. Треугольники $P^{ \prime}Q^{ \prime}R^{ \prime}$ и $PQR_1$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, если точка $R_1$ совпадает с точкой $R$, то треугольники $PQR$ и $P^{ \prime}Q^{ \prime}R^{ \prime}$ равны.
В противном случае точка $R_1$ окажется внутри или вне отрезка $PR$ (рис. а и б). У равнобедренного треугольника $RQR_1$ углы при основании равны. Если точка $R_1$ лежит внутри отрезка $PR$, то
$\angle PRQ = \angle RR_1Q = 180^{\circ} - \angle PR_1Q = 180^{\circ} - \angle P^{ \prime}R^{ \prime}Q^{ \prime}$.
Случай, когда точка $R_1$ лежит вне отрезка $PR$, аналогичен. Лемма доказана.
Рассмотрим треугольники $XBC$ и $YAB$. У них равны две стороны и угол не между ними: $\angle BXC = \angle AYB, XC = YB, BC = AB$. В силу леммы такие треугольники либо равны, либо $\angle XBC + \angle YAB = 180^{ \circ}$, но второй случай невозможен, поскольку $\angle XBC + \angle YAB < \angle ABC + \angle CAB = 180^{ \circ} - \angle ACB < 180^{ \circ}$. Значит, $\Delta XBC = \Delta YAB$, а следовательно, $\angle ABY = \angle BCX$, и треугольник $ABC$ равносторонний.
Ответ: Треугольник равносторонний, все углы по $60^{\circ}$.
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AC$ и $BC$ взяты точки $X$ и $Y$ такие, что $\angle ABX = \angle YAC, \angle AYB = \angle BXC, XC = YB$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Решение:
Для внешних углов $BXC$ и $AYB$ треугольников $ABX$ и $CAY$ запишем равенства
$\angle BXC = \angle ABX + \angle BAX$,
$\angle AYB = \angle YAC + \angle YCA$
(рис.). Так как по условию $\angle BXC = \angle AYB, \angle ABX = \angle YAC$, получаем, что $ \angle BAX = \angle YCA$, т. е. треугольник $ABC$ является равнобедренным, $AB = BC$.
Лемма. Пусть у треугольников $PQR$ и $P^{ \prime}Q^{ \prime}R^{ \prime}$ равны две стороны и угол не между ними: $PQ = P^{ \prime}Q^{ \prime}, QR = Q^{ \prime}R^{ \prime}, \angle RPQ = \angle R^{ \prime}P^{ \prime}Q^{ \prime}$. Тогда либо треугольники равны, либо $ \angle PRQ + \angle P^{ \prime}R^{ \prime}Q^{ \prime} = 180^{\circ}$.
Доказательство. Отметим на луче $PR$ точку $R_1$ на расстоянии $P^{ \prime}R^{ \prime}$ от точки $P$. Треугольники $P^{ \prime}Q^{ \prime}R^{ \prime}$ и $PQR_1$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, если точка $R_1$ совпадает с точкой $R$, то треугольники $PQR$ и $P^{ \prime}Q^{ \prime}R^{ \prime}$ равны.
В противном случае точка $R_1$ окажется внутри или вне отрезка $PR$ (рис. а и б). У равнобедренного треугольника $RQR_1$ углы при основании равны. Если точка $R_1$ лежит внутри отрезка $PR$, то
$\angle PRQ = \angle RR_1Q = 180^{\circ} - \angle PR_1Q = 180^{\circ} - \angle P^{ \prime}R^{ \prime}Q^{ \prime}$.
Случай, когда точка $R_1$ лежит вне отрезка $PR$, аналогичен. Лемма доказана.
Рассмотрим треугольники $XBC$ и $YAB$. У них равны две стороны и угол не между ними: $\angle BXC = \angle AYB, XC = YB, BC = AB$. В силу леммы такие треугольники либо равны, либо $\angle XBC + \angle YAB = 180^{ \circ}$, но второй случай невозможен, поскольку $\angle XBC + \angle YAB < \angle ABC + \angle CAB = 180^{ \circ} - \angle ACB < 180^{ \circ}$. Значит, $\Delta XBC = \Delta YAB$, а следовательно, $\angle ABY = \angle BCX$, и треугольник $ABC$ равносторонний.
Ответ: Треугольник равносторонний, все углы по $60^{\circ}$.
