Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3379
2019-06-03 
Пусть $AA_1, BB_1, CC_1$ - высоты остроугольного треугольника $ABC$; $O_A, O_B, O_C$ - центры вписанных окружностей треугольников $AB_1C_1, BC_1A_1, CA_1B_1$ соответственно; $T_A, T_B, T_C$ - точки касания вписанной окружности треугольника $ABC$ со сторонами $BC, CA, AB$ соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника $T_AO_CT_BO_AT_CO_B$ равны.
Решение:
Обозначим через $I$ центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а через $r$ - ее радиус. Пусть $\angle BAC = \alpha$ (рис.). Докажем, что все стороны шестиугольника $T_AO_CT_BO_AT_CO_B$ равны $r$.
Докажем сначала, что $T_BO_A \perp AB$.
Находим
$AB_1 = AB \cos \alpha, AC_1 = AC \cos \alpha$.
В треугольниках $BAC$ и $B_1AC_1$ угол $BAC$ общий и
$\frac{AB_{1}}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \cos \alpha$.
Таким образом, треугольники $B_1AC_1$ и $BAC$ подобны с коэффициентом подобия, равным $\cos \alpha$ (это хорошо известный факт). Пусть $X$ - проекция точки $OA$ на $AB$. Отрезки $AX$ и $ATB$ - это отрезки от вершины $A$ до точек касания соответствующих сторон со вписанной окружностью в подобных треугольниках $B_1AC_1$ и $BAC$, т. е. $AX$ и $AT_B$ - соответствующие элементы в подобных треугольниках. Поэтому $AX = AT_B \cos \alpha$. Но если $Y$ - проекция точки $TB$ на $AB$, то $AY = AT_B \cos \alpha$. Это означает, что $AX = AY$, т. е. точки $X$ и $Y$ совпадают. Отсюда следует, что $T_BO_A \perp AB$.
Аналогично доказывается, что
$T_AO_B \perp AB, T_CO_B \perp BC, T_BO_C \perp BC, T_AO_C \perp AC, T_CO_A \perp AC$.
Очевидно, $IT_C \perp AB, IT_A \perp BC, IT_B \perp AC$, а также $IT_A = IT_B = IT_C = r$. В четырехугольнике $T_BO_AT_CI$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $T_BO_AT_CI$ - параллелограмм, в котором
$IT_B = IT_C = T_BO_A = T_CO_A = r$.
Аналогично получаем, что
$T_CO_B = T_AO_B = T_AO_C = T_BO_C = r$,
поэтому все стороны шестиугольника $T_AO_CT_BO_AT_CO_B$ равны $r$.
Пусть $AA_1, BB_1, CC_1$ - высоты остроугольного треугольника $ABC$; $O_A, O_B, O_C$ - центры вписанных окружностей треугольников $AB_1C_1, BC_1A_1, CA_1B_1$ соответственно; $T_A, T_B, T_C$ - точки касания вписанной окружности треугольника $ABC$ со сторонами $BC, CA, AB$ соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника $T_AO_CT_BO_AT_CO_B$ равны.
Решение:
Обозначим через $I$ центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а через $r$ - ее радиус. Пусть $\angle BAC = \alpha$ (рис.). Докажем, что все стороны шестиугольника $T_AO_CT_BO_AT_CO_B$ равны $r$.
Докажем сначала, что $T_BO_A \perp AB$.
Находим
$AB_1 = AB \cos \alpha, AC_1 = AC \cos \alpha$.
В треугольниках $BAC$ и $B_1AC_1$ угол $BAC$ общий и
$\frac{AB_{1}}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \cos \alpha$.
Таким образом, треугольники $B_1AC_1$ и $BAC$ подобны с коэффициентом подобия, равным $\cos \alpha$ (это хорошо известный факт). Пусть $X$ - проекция точки $OA$ на $AB$. Отрезки $AX$ и $ATB$ - это отрезки от вершины $A$ до точек касания соответствующих сторон со вписанной окружностью в подобных треугольниках $B_1AC_1$ и $BAC$, т. е. $AX$ и $AT_B$ - соответствующие элементы в подобных треугольниках. Поэтому $AX = AT_B \cos \alpha$. Но если $Y$ - проекция точки $TB$ на $AB$, то $AY = AT_B \cos \alpha$. Это означает, что $AX = AY$, т. е. точки $X$ и $Y$ совпадают. Отсюда следует, что $T_BO_A \perp AB$.
Аналогично доказывается, что
$T_AO_B \perp AB, T_CO_B \perp BC, T_BO_C \perp BC, T_AO_C \perp AC, T_CO_A \perp AC$.
Очевидно, $IT_C \perp AB, IT_A \perp BC, IT_B \perp AC$, а также $IT_A = IT_B = IT_C = r$. В четырехугольнике $T_BO_AT_CI$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $T_BO_AT_CI$ - параллелограмм, в котором
$IT_B = IT_C = T_BO_A = T_CO_A = r$.
Аналогично получаем, что
$T_CO_B = T_AO_B = T_AO_C = T_BO_C = r$,
поэтому все стороны шестиугольника $T_AO_CT_BO_AT_CO_B$ равны $r$.
