Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3377
2019-06-03 
Докажите, что на графике функции $y = x^3$ можно отметить такую точку $A$, а на графике функции $y = x^3 + < |x| + 1$ - такую точку $B$, что расстояние $AB$ не превысит $\frac{1}{100}$.
Решение:
Пусть $t > 0$. Тогда точка $B$ с координатами $(t, c)$, где $c = t^3 + t + 1$, лежит на графике функции $y = x^3 + |x| + 1$.
Точка $A$ с координатами $(3c, c)$ лежит на графике функции $y = x^3$. Покажем, что при достаточно большом $t$ расстояние между точками $A$ и $B$ не превосходит $\frac{1}{100}$. Нетрудно видеть, что это расстояние равно $\sqrt [3]{c} - t$. Обозначим его через $r$, тогда $(t + r)^3 = c$, так что
$3t^2r + 3tr^2 + r^3 = t + 1$,
откуда $3t^2r < t + 1$, а значит,
$r < \frac{t+1}{3t^2}$.
Осталось взять такое $t$, чтобы выполнялось неравенство $\frac{t+1}{3t^2} < \frac{1}{100}$. Годится любое достаточно большое $t$, например, можно взять $t = 100$:
$\frac{t + 1}{3t^2} = \frac{101}{3 \cdot 100 \cdot 100} < \frac{1}{100}$.
Докажите, что на графике функции $y = x^3$ можно отметить такую точку $A$, а на графике функции $y = x^3 + < |x| + 1$ - такую точку $B$, что расстояние $AB$ не превысит $\frac{1}{100}$.
Решение:
Пусть $t > 0$. Тогда точка $B$ с координатами $(t, c)$, где $c = t^3 + t + 1$, лежит на графике функции $y = x^3 + |x| + 1$.
Точка $A$ с координатами $(3c, c)$ лежит на графике функции $y = x^3$. Покажем, что при достаточно большом $t$ расстояние между точками $A$ и $B$ не превосходит $\frac{1}{100}$. Нетрудно видеть, что это расстояние равно $\sqrt [3]{c} - t$. Обозначим его через $r$, тогда $(t + r)^3 = c$, так что
$3t^2r + 3tr^2 + r^3 = t + 1$,
откуда $3t^2r < t + 1$, а значит,
$r < \frac{t+1}{3t^2}$.
Осталось взять такое $t$, чтобы выполнялось неравенство $\frac{t+1}{3t^2} < \frac{1}{100}$. Годится любое достаточно большое $t$, например, можно взять $t = 100$:
$\frac{t + 1}{3t^2} = \frac{101}{3 \cdot 100 \cdot 100} < \frac{1}{100}$.
