Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3373
2019-06-03 
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AE, AF$ и $EF$ делят четырехугольник на 4 треугольника, площади которых равны последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника $ABD$?
Решение:
Пусть площади треугольников равны $n, n + 1, n + 2, n + 3$. Тогда площадь четырехугольника $ABCD$ составляет $4n + 6$. Нетрудно видеть, что площадь треугольника $BCD$ в четыре раза больше площади треугольника $ECF$, поэтому эта площадь не меньше $4n$. Значит,
$S_{ABD} = S_{ABCD} - S_{BCD} \leq (4n + 6) - 4n = 6$.
Равенство достигается, если треугольник $ECF$ имеет наименьшую площадь из указанных четырех треугольников.
Осталось доказать, что значение 6 является возможным. Примером служит равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 6, BC = 4$ и высотой 2 (числа на рис. обозначают площади треугольников).
Ответ: 6.
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AE, AF$ и $EF$ делят четырехугольник на 4 треугольника, площади которых равны последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника $ABD$?
Решение:
Пусть площади треугольников равны $n, n + 1, n + 2, n + 3$. Тогда площадь четырехугольника $ABCD$ составляет $4n + 6$. Нетрудно видеть, что площадь треугольника $BCD$ в четыре раза больше площади треугольника $ECF$, поэтому эта площадь не меньше $4n$. Значит,
$S_{ABD} = S_{ABCD} - S_{BCD} \leq (4n + 6) - 4n = 6$.
Равенство достигается, если треугольник $ECF$ имеет наименьшую площадь из указанных четырех треугольников.
Осталось доказать, что значение 6 является возможным. Примером служит равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 6, BC = 4$ и высотой 2 (числа на рис. обозначают площади треугольников).
Ответ: 6.
