Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3372
2019-06-03 
Про положительные числа $a, b, с$ известно, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq a + b + с$. Докажите, что $a + b + с \geq 3abс$.
Решение:
Умножая неравенство
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq a + b + с$
на общий знаменатель, получаем равносильное неравенство
$bc + ac + ab \geq (a + b + c)abc$.
Теперь докажем вспомогательное неравенство (верное при всех $a, b$ и $c$)
$(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ac)$.
Начнем с известного неравенства
$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) \geq 3(ab + bc + ac) \Leftrightarrow (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ac)$.
Отсюда легко получить требуемое неравенство:
$(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ac) \geq 3(a + b + c)abc, a + b + c \geq 3abc$.
Про положительные числа $a, b, с$ известно, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq a + b + с$. Докажите, что $a + b + с \geq 3abс$.
Решение:
Умножая неравенство
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq a + b + с$
на общий знаменатель, получаем равносильное неравенство
$bc + ac + ab \geq (a + b + c)abc$.
Теперь докажем вспомогательное неравенство (верное при всех $a, b$ и $c$)
$(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ac)$.
Начнем с известного неравенства
$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) \geq 3(ab + bc + ac) \Leftrightarrow (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ac)$.
Отсюда легко получить требуемое неравенство:
$(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ac) \geq 3(a + b + c)abc, a + b + c \geq 3abc$.
