Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3371
2019-06-03 
Тангенсы углов треугольника - натуральные числа. Чему они могут быть равны?
Решение:
Первый способ. Обозначим углы треугольника через $\alpha, \beta, \gamma (\alpha \leq \beta \leq \gamma)$. Так как $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, имеет место неравенство $0 < \alpha \leq \frac{ \pi}{3}$, поэтому $0 < tg \alpha \leq \sqrt{3}$. Так как $tg \alpha$ - натуральное число, то он равен 1, $\alpha = \frac{ \pi}{4}$. Тогда $\beta + \gamma = \frac{3 \pi}{4}$, откуда
$-1 = tg(\beta + \gamma) = \frac {tg \beta + tg \gamma}{1 - tg \beta tg \gamma} \Rightarrow tg \beta + tg \gamma = tg \beta tg \gamma - 1 \Rightarrow (tg \beta - 1)(tg \gamma - 1) = 2$.
Число 2 простое, поэтому выражение в одной скобке равно 1, а в другой 2 (случай, когда одно из выражений равно 1, а другое 2, как легко видеть, невозможен). Отсюда получаем: $tg \beta = 2, tg \gamma = 3$.
Второй способ. Нарисуем на клетчатой бумаге треугольник $ABC$, как показано на рис. Подсчетом клеточек легко убедиться, что $tg \angle BAC = 3, tg \angle ACB = 2$. Отметим теперь на рисунке точки $H$ и $D$. Опять-таки из подсчета клеточек следует, что $ADBH$ - ромб с равными диагоналями, т. е. квадрат. Поэтому $\angle ABC = \frac{ \pi}{4}$, а $tg \angle ABC = 1$. Итак, нарисованный треугольник удовлетворяет условию.
Покажем, что других значений тангенсов быть не может. Как было доказано (см. первый способ решения), наименьший из углов треугольника обязательно равен $\pi/4$. При этом остальные углы строго больше: если бы второй угол также равнялся $\frac{ \pi}{4}$, то третий угол был бы равен $\pi - 2 \cdot \frac{ \pi}{4} = \frac{ \pi}{2}$, и его тангенс был бы не определен. Таким образом, один из тангенсов равен 1, а два остальных - больше 1 (так как тангенс возрастает на полуинтервале $[0; \frac{ \pi}{2})$).
Поскольку сумма углов треугольника равна $\pi$ , нельзя изменить значение тангенса одного угла, не меняя значений остальных двух. Значит, кроме варианта 1, 2, 3 осталось рассмотреть вариант $1, m, n$, где $m > 2, n > 3$. В этом случае пришлось бы увеличить два угла треугольника $ABC$, оставив третий без изменений, что невозможно по той же теореме о сумме углов треугольника. Итак, вариант на рисунке - единственный.
Ответ: Тангенсы углов треугольника равны 1, 2 и 3.
Тангенсы углов треугольника - натуральные числа. Чему они могут быть равны?
Решение:
Первый способ. Обозначим углы треугольника через $\alpha, \beta, \gamma (\alpha \leq \beta \leq \gamma)$. Так как $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, имеет место неравенство $0 < \alpha \leq \frac{ \pi}{3}$, поэтому $0 < tg \alpha \leq \sqrt{3}$. Так как $tg \alpha$ - натуральное число, то он равен 1, $\alpha = \frac{ \pi}{4}$. Тогда $\beta + \gamma = \frac{3 \pi}{4}$, откуда
$-1 = tg(\beta + \gamma) = \frac {tg \beta + tg \gamma}{1 - tg \beta tg \gamma} \Rightarrow tg \beta + tg \gamma = tg \beta tg \gamma - 1 \Rightarrow (tg \beta - 1)(tg \gamma - 1) = 2$.
Число 2 простое, поэтому выражение в одной скобке равно 1, а в другой 2 (случай, когда одно из выражений равно 1, а другое 2, как легко видеть, невозможен). Отсюда получаем: $tg \beta = 2, tg \gamma = 3$.
Второй способ. Нарисуем на клетчатой бумаге треугольник $ABC$, как показано на рис. Подсчетом клеточек легко убедиться, что $tg \angle BAC = 3, tg \angle ACB = 2$. Отметим теперь на рисунке точки $H$ и $D$. Опять-таки из подсчета клеточек следует, что $ADBH$ - ромб с равными диагоналями, т. е. квадрат. Поэтому $\angle ABC = \frac{ \pi}{4}$, а $tg \angle ABC = 1$. Итак, нарисованный треугольник удовлетворяет условию.
Покажем, что других значений тангенсов быть не может. Как было доказано (см. первый способ решения), наименьший из углов треугольника обязательно равен $\pi/4$. При этом остальные углы строго больше: если бы второй угол также равнялся $\frac{ \pi}{4}$, то третий угол был бы равен $\pi - 2 \cdot \frac{ \pi}{4} = \frac{ \pi}{2}$, и его тангенс был бы не определен. Таким образом, один из тангенсов равен 1, а два остальных - больше 1 (так как тангенс возрастает на полуинтервале $[0; \frac{ \pi}{2})$).
Поскольку сумма углов треугольника равна $\pi$ , нельзя изменить значение тангенса одного угла, не меняя значений остальных двух. Значит, кроме варианта 1, 2, 3 осталось рассмотреть вариант $1, m, n$, где $m > 2, n > 3$. В этом случае пришлось бы увеличить два угла треугольника $ABC$, оставив третий без изменений, что невозможно по той же теореме о сумме углов треугольника. Итак, вариант на рисунке - единственный.
Ответ: Тангенсы углов треугольника равны 1, 2 и 3.
