Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3370
2019-06-03 
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей - опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали ее (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
Решение:
Заметим сначала, что все получающиеся многоугольники будут выпуклыми. Докажем индукцией по количеству имеющихся частей следующее утверждение: после каждого разрезания найдется часть (многоугольник) хотя бы с тремя нетупыми углами.
База индукции. Сначала есть одна часть, и это треугольник с тремя острыми углами.
Шаг индукции. Пусть на очередном шаге имеется многоугольник $M$ хотя бы с тремя нетупыми углами, и мы делаем очередное разрезание.
Если мы режем не многоугольник $M$, то шаг индукции очевиден. Пусть мы разрезали $M$ по прямой на две части. Обозначим точки пересечения этой прямой с многоугольником $M$ буквами $A$ и $B$.
Если точка $A$ лежит внутри одной из сторон многоугольника $M$, то линия разреза образует с этой стороной два смежных угла, по крайней мере один из которых - не тупой. Если же точка $A$ - вершина многоугольника, то соответствующий ей угол многоугольника разбивается разрезом на два угла, сумма которых меньше $180^{\circ}$ (так как многоугольник $M$ - выпуклый). Значит, тем более один из них не тупой. Если при этом угол $A$ сам не был тупым, то, очевидно, оба получившихся угла также не тупые. Таким образом, после разреза к точке $A$ примыкает больше нетупых углов (по крайней мере, на единицу). Аналогичные рассуждения про второй конец разреза $B$ показывают, что дополнительный нетупой угол появляется и там.
По предположению индукции многоугольник $M$ имел не менее трех нетупых углов. Поэтому после разрезания у двух получившихся многоугольников таких углов в сумме не менее пяти. Следовательно, согласно принципу Дирихле (см. факт 1) по крайней мере в одном из них нетупых углов не менее трех. Шаг индукции доказан.
Тем самым утверждение доказано. Значит, после того, как исходный треугольник распадется на треугольники, хотя бы у одного из них будет не меньше трех нетупых углов, т. е. все углы этого треугольника будут нетупыми.
Ответ: Не могут.
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей - опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали ее (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
Решение:
Заметим сначала, что все получающиеся многоугольники будут выпуклыми. Докажем индукцией по количеству имеющихся частей следующее утверждение: после каждого разрезания найдется часть (многоугольник) хотя бы с тремя нетупыми углами.
База индукции. Сначала есть одна часть, и это треугольник с тремя острыми углами.
Шаг индукции. Пусть на очередном шаге имеется многоугольник $M$ хотя бы с тремя нетупыми углами, и мы делаем очередное разрезание.
Если мы режем не многоугольник $M$, то шаг индукции очевиден. Пусть мы разрезали $M$ по прямой на две части. Обозначим точки пересечения этой прямой с многоугольником $M$ буквами $A$ и $B$.
Если точка $A$ лежит внутри одной из сторон многоугольника $M$, то линия разреза образует с этой стороной два смежных угла, по крайней мере один из которых - не тупой. Если же точка $A$ - вершина многоугольника, то соответствующий ей угол многоугольника разбивается разрезом на два угла, сумма которых меньше $180^{\circ}$ (так как многоугольник $M$ - выпуклый). Значит, тем более один из них не тупой. Если при этом угол $A$ сам не был тупым, то, очевидно, оба получившихся угла также не тупые. Таким образом, после разреза к точке $A$ примыкает больше нетупых углов (по крайней мере, на единицу). Аналогичные рассуждения про второй конец разреза $B$ показывают, что дополнительный нетупой угол появляется и там.
По предположению индукции многоугольник $M$ имел не менее трех нетупых углов. Поэтому после разрезания у двух получившихся многоугольников таких углов в сумме не менее пяти. Следовательно, согласно принципу Дирихле (см. факт 1) по крайней мере в одном из них нетупых углов не менее трех. Шаг индукции доказан.
Тем самым утверждение доказано. Значит, после того, как исходный треугольник распадется на треугольники, хотя бы у одного из них будет не меньше трех нетупых углов, т. е. все углы этого треугольника будут нетупыми.
Ответ: Не могут.
