2014-06-07
Сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла равна сумме величин его двугранных углов. Доказать, что этот угол является трехгранным.
Решение:
Заметим, что сумма плоских углов данного угла с вершиной S и ребрами $SA_{1}, \cdots, SA_{n}$ меньше $360^{\circ}$. Возьмем какую-либо внутреннюю точку O этого n-гранного угла и опустим из нее перпендикуляры $OH_{i}$ на плоскости $SA_{i}A_{i+1} (i = 1, \cdots, n; A_{n+1} = A_{1}$). Полученный n-гранный угол с вершиной О и ребрами $OH_{i}$ является выпуклым, ибо все его ребра лежат относительно любой его грани в том же полупространстве, что и точка S. Каждый его плоский угол $\angle H_{i}OH_{i-1} (H_{0} = H_{n})$ в сумме с линейным углом двугранного угла при ребре $SA_{i}$ (перпендикулярном плоскости $H_{i}OH_{i-1}$) составляет $180^{\circ}$. Так как сумма плоских углов построенного n-гранного угла также меньше $360^{\circ}$, то сумма величин двугранных углов исходного n-гранного угла больше $180^{\circ} \cdot n – 360^{\circ}$ и не может быть меньше $360^{\circ}$ ни при каком значении $n \geq 4$. Следовательно, условию задачи может удовлетворять только трехгранный угол.