ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-06-03   
Найдите все целые числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $x^4 - 2y^2 = 1$.


Решение:


Если $(x, y)$ - решение уравнения $x^4 - 2y^2 = 1$, то $(-x, y)$, $(x, -y)$ и $(-x, -y)$ тоже решения. Поэтому будем искать только неотрицательные решения. Ясно, что $x$ - нечетное число, $x = 2t + 1$. Перепишем уравнение в виде

$x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 2t \cdot (2t + 2) \cdot (4t^2 + 4t + 2) = 2y^2$.

Теперь видно, что $y$ - четное число, $y = 2u$. Деля обе части уравнения на 8, получаем уравнение

$t(t + 1)(2t(t + 1) + 1) = u^2$.

Нетрудно проверить, что числа $t, t + 1$ и $2t(t + 1) + 1$ попарно взаимно просты. Действительно, пусть, например,

$d |t + 1$ и $d | 2t(t + 1) + 1$,

тогда $d$ делит и $2t(t + 1)$, а, значит, и разность

$1 = (2t(t + 1) + 1) - (2t(t + 1))$

Взаимная простота двух остальных пар доказывается аналогично.

Произведение этих взаимно простых чисел - полный квадрат. Согласно известной теореме, каждое из них также является полным квадратом.

Итак, $t$ и $t + 1$ - полные квадраты. Это возможно только при $t = 0$. Действительно, если $t = \alpha^2, t + 1 = \beta^2$, где $\beta \geq 0, \alpha \geq 0$, то

$(\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = 1$,

поэтому $\beta - \alpha = 1, \beta + \alpha = 1$, так что $а = 0$, следовательно, $t = 0$. Тогда и $u = 0$. Значит, $x = \pm 1, y = 0$.
Ответ: $x = 1, y = 0$ или $x = -1, y = 0$.