Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3367
2019-06-03 
Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную около него окружность в точках $E$ и $D$ соответственно. Отрезок $DE$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ соответственно в точках $F$ и $G$. Пусть $I$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Докажите, что четырехугольник $BFIG$ - ромб.
Решение:
Отразим симметрично треугольник $ABC$ относительно прямой $DE$ (рис.). По свойству вписанных углов
$\angle AED = \angle ACD = \angle BCD = \angle BED$
(второе равенство верно, потому что $CD$ - биссектриса угла $ACB$). Поэтому прямая $AE$ при этом отражении перейдет в прямую $BE$, аналогично, прямая CD при отражении перейдет в прямую BD. Тогда точка пересечения прямых $AE$ и $CD$, т. е. точка $I$, перейдет при отражении в точку пересечения прямых $BE$ и $BD$, т. е. в точку $B$. Таким образом, треугольник $IFG$ перейдет при отражении в треугольник $BFG$, откуда $IF = BF, IG = BG$, и прямая $BI$ перпендикулярна $DE$. Но луч $BI$ - биссектриса угла $FBG$, значит, в треугольнике $FBG$ высота является биссектрисой. Поэтому этот треугольник равнобедренный, $FB = BG$.
Итак, все стороны четырехугольника $BFIG$ равны, значит, этот четырехугольник - ромб.
Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную около него окружность в точках $E$ и $D$ соответственно. Отрезок $DE$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ соответственно в точках $F$ и $G$. Пусть $I$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Докажите, что четырехугольник $BFIG$ - ромб.
Решение:
Отразим симметрично треугольник $ABC$ относительно прямой $DE$ (рис.). По свойству вписанных углов
$\angle AED = \angle ACD = \angle BCD = \angle BED$
(второе равенство верно, потому что $CD$ - биссектриса угла $ACB$). Поэтому прямая $AE$ при этом отражении перейдет в прямую $BE$, аналогично, прямая CD при отражении перейдет в прямую BD. Тогда точка пересечения прямых $AE$ и $CD$, т. е. точка $I$, перейдет при отражении в точку пересечения прямых $BE$ и $BD$, т. е. в точку $B$. Таким образом, треугольник $IFG$ перейдет при отражении в треугольник $BFG$, откуда $IF = BF, IG = BG$, и прямая $BI$ перпендикулярна $DE$. Но луч $BI$ - биссектриса угла $FBG$, значит, в треугольнике $FBG$ высота является биссектрисой. Поэтому этот треугольник равнобедренный, $FB = BG$.
Итак, все стороны четырехугольника $BFIG$ равны, значит, этот четырехугольник - ромб.
