Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3366
2019-06-03 
Пусть $a, b, c$ - стороны треугольника. Докажите неравенство $a^3 + b^3 + 3abc > c^3$.
Решение:
Первый способ. По неравенству треугольника $a + b > c$. Кроме того, для любых неотрицательных $a$ и $b$ выполняется неравенство $a^2 - a^b + b^2 \geq 0$. Действительно,
$a^2 - ab + b^2 \geq a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \geq 0$.
Поэтому
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) \geq c(a^2 - ab + b^2)$.
Отсюда получаем:
$a^3 + b^3 + 3abc = (a + b)(a^2 - ab + b^2) + 3abc \geq c(a^2 - ab + b^2) + 3abc = c(a^2 + 2ab + b^2) = c(a + b)^2 > c^3$.
Второй способ. Пусть $d = c - b$, тогда $d + b = c$ ($d$ может быть отрицательным). По неравенству треугольника $a > d$. Получаем:
$a^3 + b^3 + 3abc > d^3 + b^3 + 3dbc = d^3 + b^3 + 3bd(d + b) = d^3 + 3d^2b + 3db^2 + b^3 = (d + b)^3 = c^3$.
Пусть $a, b, c$ - стороны треугольника. Докажите неравенство $a^3 + b^3 + 3abc > c^3$.
Решение:
Первый способ. По неравенству треугольника $a + b > c$. Кроме того, для любых неотрицательных $a$ и $b$ выполняется неравенство $a^2 - a^b + b^2 \geq 0$. Действительно,
$a^2 - ab + b^2 \geq a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \geq 0$.
Поэтому
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) \geq c(a^2 - ab + b^2)$.
Отсюда получаем:
$a^3 + b^3 + 3abc = (a + b)(a^2 - ab + b^2) + 3abc \geq c(a^2 - ab + b^2) + 3abc = c(a^2 + 2ab + b^2) = c(a + b)^2 > c^3$.
Второй способ. Пусть $d = c - b$, тогда $d + b = c$ ($d$ может быть отрицательным). По неравенству треугольника $a > d$. Получаем:
$a^3 + b^3 + 3abc > d^3 + b^3 + 3dbc = d^3 + b^3 + 3bd(d + b) = d^3 + 3d^2b + 3db^2 + b^3 = (d + b)^3 = c^3$.
