Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3361
2019-06-03 
Дана окружность с диаметром $AB$. Другая окружность с центром в $A$ пересекает отрезок $AB$ в точке $C$, причем $AC < \frac{1}{2} AB$. Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке $D$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна $AB$.
Решение:
Пусть $E$ - точка касания второй окружности с общей касательной, O - центр первой окружности (рис.). Треугольник $AOD$ равнобедренный (потому что $AO$ и $OD$ - радиусы первой окружности), поэтому $\angle ODA = \angle OAD$.
Как известно, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, отрезки $OD$ и $AE$ перпендикулярны общей касательной $DE$. Поэтому $OD \parallel AE$, так что по теореме о внутренних накрест лежащих углах при параллельных прямых $\angle DAE = \angle ODA$. Итак, $\angle DAE = \angle OAD$.
Теперь мы видим, что $\triangle DEA = \triangle DCA$ по двум сторонам и углу между ними. Действительно, $\angle DAE = \angle OAD, EA = AC$ (радиусы!), $AD$ - общая сторона. Значит, $\angle DCA = \angle DEA = 90^{ \circ}$, т. е. прямые $DC$ и $AB$ перпендикулярны.
Дана окружность с диаметром $AB$. Другая окружность с центром в $A$ пересекает отрезок $AB$ в точке $C$, причем $AC < \frac{1}{2} AB$. Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке $D$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна $AB$.
Решение:
Пусть $E$ - точка касания второй окружности с общей касательной, O - центр первой окружности (рис.). Треугольник $AOD$ равнобедренный (потому что $AO$ и $OD$ - радиусы первой окружности), поэтому $\angle ODA = \angle OAD$.
Как известно, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, отрезки $OD$ и $AE$ перпендикулярны общей касательной $DE$. Поэтому $OD \parallel AE$, так что по теореме о внутренних накрест лежащих углах при параллельных прямых $\angle DAE = \angle ODA$. Итак, $\angle DAE = \angle OAD$.
Теперь мы видим, что $\triangle DEA = \triangle DCA$ по двум сторонам и углу между ними. Действительно, $\angle DAE = \angle OAD, EA = AC$ (радиусы!), $AD$ - общая сторона. Значит, $\angle DCA = \angle DEA = 90^{ \circ}$, т. е. прямые $DC$ и $AB$ перпендикулярны.
