Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 336
2014-06-07 
На окружности одного основания прямого кругового цилиндра взяты диаметрально противоположные точки A и B, а на окружности другого основания - точка С, не лежащая на плоскости АВО, где О - середина оси цилиндра. Доказать, что сумма двугранных углов трехгранного угла с вершиной О и ребрами OA, ОВ, ОС равна $360^{\circ}$.
Решение:
Пусть точка $C^{\prime}$ симметрична точке С относительно центра симметрии цилиндра - точки О (рис.). Тогда, если у трехгранного утла ОАВС двугранные угли при ребрах OA, ОВ, ОС равны $\alpha, \beta, \gamma$, то у трехгранного утла $OABC^{\prime}$ двугранные углы при ребрах $OA, OB, OC^{\prime}$ равны $180^{\circ} - \alpha, 180^{\circ} - \beta, \gamma$ соответственно. Пусть D – центр окружности с диаметром АВ. Тогда в пирамиде $OADC^{\prime}$ двугранные углы при ребрах $OA$ и $OC^{\prime}$ равны (ибо эта пирамида симметрична относительно биссектральной плоскости двугранного утла при ребре OD), а в пирамиде $OBDC^{\prime}$ равны двугранные углы при ребрах $OB$ и $oC^{\prime}$ (по той же причине), откуда $(180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - \beta) = \gamma$, т.е.
$\alpha + \beta + \gamma = 360^{\circ}$,
что и требовалось доказать.
На окружности одного основания прямого кругового цилиндра взяты диаметрально противоположные точки A и B, а на окружности другого основания - точка С, не лежащая на плоскости АВО, где О - середина оси цилиндра. Доказать, что сумма двугранных углов трехгранного угла с вершиной О и ребрами OA, ОВ, ОС равна $360^{\circ}$.
Решение:
Пусть точка $C^{\prime}$ симметрична точке С относительно центра симметрии цилиндра - точки О (рис.). Тогда, если у трехгранного утла ОАВС двугранные угли при ребрах OA, ОВ, ОС равны $\alpha, \beta, \gamma$, то у трехгранного утла $OABC^{\prime}$ двугранные углы при ребрах $OA, OB, OC^{\prime}$ равны $180^{\circ} - \alpha, 180^{\circ} - \beta, \gamma$ соответственно. Пусть D – центр окружности с диаметром АВ. Тогда в пирамиде $OADC^{\prime}$ двугранные углы при ребрах $OA$ и $OC^{\prime}$ равны (ибо эта пирамида симметрична относительно биссектральной плоскости двугранного утла при ребре OD), а в пирамиде $OBDC^{\prime}$ равны двугранные углы при ребрах $OB$ и $oC^{\prime}$ (по той же причине), откуда $(180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - \beta) = \gamma$, т.е.
$\alpha + \beta + \gamma = 360^{\circ}$,
что и требовалось доказать.
