Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3357
2019-06-02 
Докажите, что в пространстве существует расположение 2001 выпуклого многогранника, такое что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а любые два касаются друг друга (т. е. имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).
Решение:
Положим $N = 2001$ и опишем построение расположения $N$ выпуклых многогранников, из которых никакие три не пересекаются и любые два касаются.
Рассмотрим бесконечный круговой конус, вершина $O$ которого находится в начале координат, а ось направлена вдоль оси $Oz$. На окружности, являющейся сечением конуса плоскостью $z = 1$, возьмем точки $A_1, A_2, \cdots, A_N$ - вершины правильного $N$-угольника. Обозначим через $B_1, B_2, \cdots, B_N$ середины меньших дуг $A_1A_2, A_2A_3, \cdots, A_NA_1$ соответственно. Через $C(t)$ обозначим круг, являющийся сечением конуса плоскостью $z = t$, через $O_t$ - центр этого круга, через $A_t, B_t$ - точки пересечения образующих $OA_i, OB_i$ с кругом $C(t)$, где $t > 0, 1 \leq i \leq N$. Здесь и далее мы будем считать нумерацию точек $A_i$ циклической, т. е., например, $A_{N+1} = A_1$.
Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть выпуклый многоугольник $M$ лежит внутри круга $C(t_0), t_0 > 0$. Рассмотрим бесконечную вверх «призму» $P$, основанием которой служит многоугольник $M$, а боковое «ребро» параллельно прямой $OB_i$ для некоторого $i$. Многоугольник (равный $M$), который получается при пересечении призмы $P$ и круга $C(t)$, обозначим $M(t)$ (таким образом, $M(t_0)$ совпадает с $M$). Тогда найдется такое положительное $T > t_0$, что при всех $t > T$ многоугольник $M(t)$ будет содержаться внутри сегмента $S_i(t) = A_i^tB_i^tA_{i+1}^t$ круга $C(t)$.
Доказательство. Многоугольник $M(t$) является образом $M$ при параллельном переносе на вектор, параллельный образующей $OB_i$. Поэтому многоугольник $M(t)$ содержится внутри круга, равного кругу $C(t_0)$, который касается круга $C(t)$ в точке $B_i^t$. Расстояние от точки $B_i^t$ до прямой $A_i^tA_{i+1}^t$ прямо пропорционально длине образующей $OB_i^t$; следовательно, найдется такое $T$, что при всех $t > T$ это расстояние больше диаметра окружности $C(t_0)$ (рис.). Это и означает, что многоугольник $M(t)$ попадает внутрь сегмента $S_i(t)$ круга $C(t)$. Лемма доказана.
Переходим к индуктивному построению требуемого расположения. При каждом $n (1 \leq n \leq N)$ мы построим положительные числа $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$, выпуклые многоугольники $M_1 , M_2, \cdots, M_n$, лежащие внутри кругов $C(t_1), C(t_2), \cdots, C(t_n)$, бесконечные «призмы» $P_1, P_2, \cdots, P_n$ с основаниями $M_1 , M_2 , \cdots, M_n$ и боковыми «ребрами», параллельными $OB_1, OB_2, \cdots, OB_n$ соответственно, причем любые две призмы касаются, и никакие три не имеют общих точек.
Выберем $t_1 > 0$. Возьмем выпуклый многоугольник $M_1$ внутри круга $C(t_1)$. Рассмотрим бесконечную вверх «призму» $P_1$, основанием которой служит многоугольник $M_1$, а боковое «ребро» параллельно прямой $OB_1$.
Пусть для некоторого $n (1 \leq n < N)$ уже определены положительные числа $t_1, t_2, \cdots, t_{n-1}$, выпуклые многоугольники $M_1, M_2, \cdots, M_{n-1}$ и «призмы» $P_1, P_2, \cdots, P_{n-1}$. Согласно лемме существует такое число $t_n > t_{n-1}$, что многоугольник $M_1 (t_n)$ содержится внутри сегмента $S_1(t_n)$ круга $C(t_n)$, многоугольник $M_2 (t_n)$ содержится внутри сегмента $S_2 (t_n)$ круга $C(t_n), \cdots$, многоугольник $M_{n-1}(t_n)$ содержится внутри сегмента $S_{n-1} (t_n)$ круга $C(t_n)$. Сдвинем каждую из прямых $A_i^{t_n}A_{i+1}^{t_n}$ ($1 \leq i \leq n - 1$) в направлении вектора $O^{t_n}B_i^{t_n}$, пока она не совпадет с прямой $l_i(t_n)$, касающейся многоугольника $M_i(t_n)$. Теперь построим выпуклый многоугольник $M_n$, который содержится в круге $C(t_n)$, касается каждого многоугольника $M_i(t_n)$ и лежит по разные с ним стороны от прямой $l_i,(t_n)$: возьмем для каждого $i$ одну из точек касания многоугольника $M_i(t_n)$ и прямой $h(t_n)$; при $n > 3$ эти точки являются вершинами выпуклого $(n 1)$-угольника, который мы и выберем в качестве $M_n$; при $n = 2, 3$ надо добавить еще несколько точек. Рассмотрим бесконечную вверх «призму» $P_n$, основанием которой является многоугольник $M_n$, а боковое «ребро» параллельно прямой $OB_n$. Построение будет закончено, когда мы получим призмы $P_1, P_2 , \cdots, P_N$. Наконец, «срежем» призмы плоскостью $z = T$, где $T > t_N$.
Докажем, что полученные (обычные) призмы удовлетворяют условию задачи. Для этого достаточно показать, что призма $P_n$ пересекается с призмой $P_i, i < n$, только в плоскости круга $C(t_n)$. Пусть, напротив, найдется общая точка $R \in C(t)$ двух призм, где $t > t_n$. Через точку $R$ проведем прямые, параллельные $OB_n$ и $OB_i$; обозначим их точки пересечения с плоскостью круга $C(t_n)$ через $R_n$ и $R_i$ соответственно. Тогда точка $R_n$ должна принадлежать многоугольнику $M_n(t_n)$, а точка $R_i$ должна принадлежать многоугольнику $M_i(t_n)$. Ненулевые векторы $\vec {R_iR_n}$ и $\vec {B_i^{t_n}B_n^{t_n}}$ противоположно направлены, так как
$\vec{RR_n} = - (t - t_n) \vec {OB_n}$ и $RR_i = -(t - t_n) \vec {OB_i}$.
Однако это невозможно, поскольку точки $R_i$ и $B_i^{t_n}$ лежат по одну сторону от прямой $l_i(t_n)$, а точки $R_n$ и $B_n^{t_n}$ - по другую. Противоречие завершает доказательство.
Докажите, что в пространстве существует расположение 2001 выпуклого многогранника, такое что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а любые два касаются друг друга (т. е. имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).
Решение:
Положим $N = 2001$ и опишем построение расположения $N$ выпуклых многогранников, из которых никакие три не пересекаются и любые два касаются.
Рассмотрим бесконечный круговой конус, вершина $O$ которого находится в начале координат, а ось направлена вдоль оси $Oz$. На окружности, являющейся сечением конуса плоскостью $z = 1$, возьмем точки $A_1, A_2, \cdots, A_N$ - вершины правильного $N$-угольника. Обозначим через $B_1, B_2, \cdots, B_N$ середины меньших дуг $A_1A_2, A_2A_3, \cdots, A_NA_1$ соответственно. Через $C(t)$ обозначим круг, являющийся сечением конуса плоскостью $z = t$, через $O_t$ - центр этого круга, через $A_t, B_t$ - точки пересечения образующих $OA_i, OB_i$ с кругом $C(t)$, где $t > 0, 1 \leq i \leq N$. Здесь и далее мы будем считать нумерацию точек $A_i$ циклической, т. е., например, $A_{N+1} = A_1$.
Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть выпуклый многоугольник $M$ лежит внутри круга $C(t_0), t_0 > 0$. Рассмотрим бесконечную вверх «призму» $P$, основанием которой служит многоугольник $M$, а боковое «ребро» параллельно прямой $OB_i$ для некоторого $i$. Многоугольник (равный $M$), который получается при пересечении призмы $P$ и круга $C(t)$, обозначим $M(t)$ (таким образом, $M(t_0)$ совпадает с $M$). Тогда найдется такое положительное $T > t_0$, что при всех $t > T$ многоугольник $M(t)$ будет содержаться внутри сегмента $S_i(t) = A_i^tB_i^tA_{i+1}^t$ круга $C(t)$.
Доказательство. Многоугольник $M(t$) является образом $M$ при параллельном переносе на вектор, параллельный образующей $OB_i$. Поэтому многоугольник $M(t)$ содержится внутри круга, равного кругу $C(t_0)$, который касается круга $C(t)$ в точке $B_i^t$. Расстояние от точки $B_i^t$ до прямой $A_i^tA_{i+1}^t$ прямо пропорционально длине образующей $OB_i^t$; следовательно, найдется такое $T$, что при всех $t > T$ это расстояние больше диаметра окружности $C(t_0)$ (рис.). Это и означает, что многоугольник $M(t)$ попадает внутрь сегмента $S_i(t)$ круга $C(t)$. Лемма доказана.
Переходим к индуктивному построению требуемого расположения. При каждом $n (1 \leq n \leq N)$ мы построим положительные числа $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$, выпуклые многоугольники $M_1 , M_2, \cdots, M_n$, лежащие внутри кругов $C(t_1), C(t_2), \cdots, C(t_n)$, бесконечные «призмы» $P_1, P_2, \cdots, P_n$ с основаниями $M_1 , M_2 , \cdots, M_n$ и боковыми «ребрами», параллельными $OB_1, OB_2, \cdots, OB_n$ соответственно, причем любые две призмы касаются, и никакие три не имеют общих точек.
Выберем $t_1 > 0$. Возьмем выпуклый многоугольник $M_1$ внутри круга $C(t_1)$. Рассмотрим бесконечную вверх «призму» $P_1$, основанием которой служит многоугольник $M_1$, а боковое «ребро» параллельно прямой $OB_1$.
Пусть для некоторого $n (1 \leq n < N)$ уже определены положительные числа $t_1, t_2, \cdots, t_{n-1}$, выпуклые многоугольники $M_1, M_2, \cdots, M_{n-1}$ и «призмы» $P_1, P_2, \cdots, P_{n-1}$. Согласно лемме существует такое число $t_n > t_{n-1}$, что многоугольник $M_1 (t_n)$ содержится внутри сегмента $S_1(t_n)$ круга $C(t_n)$, многоугольник $M_2 (t_n)$ содержится внутри сегмента $S_2 (t_n)$ круга $C(t_n), \cdots$, многоугольник $M_{n-1}(t_n)$ содержится внутри сегмента $S_{n-1} (t_n)$ круга $C(t_n)$. Сдвинем каждую из прямых $A_i^{t_n}A_{i+1}^{t_n}$ ($1 \leq i \leq n - 1$) в направлении вектора $O^{t_n}B_i^{t_n}$, пока она не совпадет с прямой $l_i(t_n)$, касающейся многоугольника $M_i(t_n)$. Теперь построим выпуклый многоугольник $M_n$, который содержится в круге $C(t_n)$, касается каждого многоугольника $M_i(t_n)$ и лежит по разные с ним стороны от прямой $l_i,(t_n)$: возьмем для каждого $i$ одну из точек касания многоугольника $M_i(t_n)$ и прямой $h(t_n)$; при $n > 3$ эти точки являются вершинами выпуклого $(n 1)$-угольника, который мы и выберем в качестве $M_n$; при $n = 2, 3$ надо добавить еще несколько точек. Рассмотрим бесконечную вверх «призму» $P_n$, основанием которой является многоугольник $M_n$, а боковое «ребро» параллельно прямой $OB_n$. Построение будет закончено, когда мы получим призмы $P_1, P_2 , \cdots, P_N$. Наконец, «срежем» призмы плоскостью $z = T$, где $T > t_N$.
Докажем, что полученные (обычные) призмы удовлетворяют условию задачи. Для этого достаточно показать, что призма $P_n$ пересекается с призмой $P_i, i < n$, только в плоскости круга $C(t_n)$. Пусть, напротив, найдется общая точка $R \in C(t)$ двух призм, где $t > t_n$. Через точку $R$ проведем прямые, параллельные $OB_n$ и $OB_i$; обозначим их точки пересечения с плоскостью круга $C(t_n)$ через $R_n$ и $R_i$ соответственно. Тогда точка $R_n$ должна принадлежать многоугольнику $M_n(t_n)$, а точка $R_i$ должна принадлежать многоугольнику $M_i(t_n)$. Ненулевые векторы $\vec {R_iR_n}$ и $\vec {B_i^{t_n}B_n^{t_n}}$ противоположно направлены, так как
$\vec{RR_n} = - (t - t_n) \vec {OB_n}$ и $RR_i = -(t - t_n) \vec {OB_i}$.
Однако это невозможно, поскольку точки $R_i$ и $B_i^{t_n}$ лежат по одну сторону от прямой $l_i(t_n)$, а точки $R_n$ и $B_n^{t_n}$ - по другую. Противоречие завершает доказательство.
