Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3355
2019-06-02 
В треугольнике $ABC$ точка $I$ - центр вписанной окружности, $I^{ \prime}$ - центр окружности, касающейся стороны $AB$ и продолжений сторон $CB$ и $CA$; $L$ и $L^{ \prime}$ - точки, в которых сторона $AB$ касается этих окружностей. Докажите, что прямые $IL^{ \prime}$, $I^{ \prime}L$ и высота $CH$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Мы докажем, что прямые $IL^{ \prime}$ и $I^{ \prime}L$ проходят через середину высоты $CH$. Обозначим через $M$ точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке $L$, через $M^{ \prime}$ - точку вневписанной окружности, диаметрально противоположную точке $L$ (рис.). Таким образом, $ML$ и $M^{ \prime}L^{ \prime}$ - диаметры вписанной и вневписанной окружностей соответственно; они параллельны высоте $CH$ треугольника $ABC$. Вписанная окружность переходит во вневписанную при гомотетии с центром в точке $C$. При этой гомотетии диаметр $ML$ переходит в параллельный ему диаметр $L^{ \prime}M^{ \prime}$. Поэтому точки $C, M, L$ лежат на одной прямой, и точки $C$, $M^{ \prime}$, $L$ тоже лежат на одной прямой. Отсюда следует, что треугольники $LLM$ и $LHC$ совмещаются гомотетией с центром в точке $L$. Поскольку $L^{ \prime}I$ - медиана треугольника $LLM$, прямая $L^{ \prime}I$ пересекает отрезок $CH$ в его середине. Аналогично, треугольники $LL^{ \prime}M^{ \prime}$ и $LHC$ совмещаются гомотетией с центром в точке $L$. Поскольку $LI^{ \prime}$ является медианой в треугольнике $LL^{ \prime}M^{ \prime}$, прямая $LI^{ \prime}$ также пересекает отрезок $CH$ в его середине, откуда следует утверждение задачи.
В треугольнике $ABC$ точка $I$ - центр вписанной окружности, $I^{ \prime}$ - центр окружности, касающейся стороны $AB$ и продолжений сторон $CB$ и $CA$; $L$ и $L^{ \prime}$ - точки, в которых сторона $AB$ касается этих окружностей. Докажите, что прямые $IL^{ \prime}$, $I^{ \prime}L$ и высота $CH$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке.
Решение:
Мы докажем, что прямые $IL^{ \prime}$ и $I^{ \prime}L$ проходят через середину высоты $CH$. Обозначим через $M$ точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке $L$, через $M^{ \prime}$ - точку вневписанной окружности, диаметрально противоположную точке $L$ (рис.). Таким образом, $ML$ и $M^{ \prime}L^{ \prime}$ - диаметры вписанной и вневписанной окружностей соответственно; они параллельны высоте $CH$ треугольника $ABC$. Вписанная окружность переходит во вневписанную при гомотетии с центром в точке $C$. При этой гомотетии диаметр $ML$ переходит в параллельный ему диаметр $L^{ \prime}M^{ \prime}$. Поэтому точки $C, M, L$ лежат на одной прямой, и точки $C$, $M^{ \prime}$, $L$ тоже лежат на одной прямой. Отсюда следует, что треугольники $LLM$ и $LHC$ совмещаются гомотетией с центром в точке $L$. Поскольку $L^{ \prime}I$ - медиана треугольника $LLM$, прямая $L^{ \prime}I$ пересекает отрезок $CH$ в его середине. Аналогично, треугольники $LL^{ \prime}M^{ \prime}$ и $LHC$ совмещаются гомотетией с центром в точке $L$. Поскольку $LI^{ \prime}$ является медианой в треугольнике $LL^{ \prime}M^{ \prime}$, прямая $LI^{ \prime}$ также пересекает отрезок $CH$ в его середине, откуда следует утверждение задачи.
