Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3354
2019-06-02 
Дана геометрическая прогрессия. Известно, что ее первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами. Верно ли, что ее двадцатый член также является натуральным числом?
Решение:
Пусть $a_1, a_2, \cdots , a_n, \cdots$ - данная геометрическая прогрессия, $q$ - ее знаменатель. По условию $a_1, a_{10} = a_1q^9$ и $a_{30} = a_1q^{29}$ - натуральные числа. Поэтому $q^9$ и $q^{29}$ - положительные рациональные числа. Отсюда следует, что $q^2 = \frac{q^{29}}{(q^9)^3}$ - положительное рациональное число и $q = \frac{q^9}{(q^2)^4}$ - также положительное рациональное число.
Пусть $q = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ - натуральные взаимно простые числа. Число $a_{30} = \frac{a_1m^{29}}{n^{29}}$ натуральное, $m^{29}$ и $n^{29}$ взаимно просты, следовательно, $a_1$ делится на $n^{29}$. Отсюда получаем, что $a_{20} = a_1q^{19} = \frac{a_1m^{19}}{n^{19}}$ - число натуральное.
Ответ: Да, верно.
Дана геометрическая прогрессия. Известно, что ее первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами. Верно ли, что ее двадцатый член также является натуральным числом?
Решение:
Пусть $a_1, a_2, \cdots , a_n, \cdots$ - данная геометрическая прогрессия, $q$ - ее знаменатель. По условию $a_1, a_{10} = a_1q^9$ и $a_{30} = a_1q^{29}$ - натуральные числа. Поэтому $q^9$ и $q^{29}$ - положительные рациональные числа. Отсюда следует, что $q^2 = \frac{q^{29}}{(q^9)^3}$ - положительное рациональное число и $q = \frac{q^9}{(q^2)^4}$ - также положительное рациональное число.
Пусть $q = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ - натуральные взаимно простые числа. Число $a_{30} = \frac{a_1m^{29}}{n^{29}}$ натуральное, $m^{29}$ и $n^{29}$ взаимно просты, следовательно, $a_1$ делится на $n^{29}$. Отсюда получаем, что $a_{20} = a_1q^{19} = \frac{a_1m^{19}}{n^{19}}$ - число натуральное.
Ответ: Да, верно.
