Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3350
2019-06-02 
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A, BH_B$ и $CH_C$. Докажите, что треугольник с вершинами в точках пересечения высот треугольников $AH_BH_C, BH_AH_C, CH_AH_B$ равен треугольнику $H_AH_BH_C$.
Решение:
Пусть $H_1, H_2, H_3$ - ортоцентры (точки пересечения высот) треугольников $AH_BH_C, BH_AH_C, CH_AH_B$ соответственно, $H$ - ортоцентр треугольника $ABC, M_1, M_2, M_3$ - середины отрезков $H_BH_C, H_CH_A$ и $H_AH_B$. Покажем, что точка $H_i$ симметрична точке $H$ относительно $M_i$ ($i = 1, 2, 3$). Рассмотрим, например, точку $H_2$. Поскольку $H_CH_2 \perp BC$ и $AH \perp BC$, отрезки $H_CH_2$ и $HH_A$ параллельны (рис. а). Аналогично, $H_AH_2 \parallel HH_C$. Значит, $H_CH_2H_AH$ - параллелограмм, и точка $H_2$ симметрична $H$ относительно середины диагонали $H_AH_C$. Такие же рассуждения справедливы для точек $H_1$ и $H_3$.
Получаем конфигурацию, показанную на рис. б. Так как $M_1M_2$ - общая средняя линия треугольников $H_AH_BH_C$ и $H_1H_2H$, отрезки $H_AH_B$ и $H_1H_2$ равны. Аналогично доказываются равенства $H_BH_C = H_2H_3$ и $H_AH_C = H_1H_3$. Следовательно, треугольники $H_1H_2H_3$ и $H_AH_BH_C$ равны.
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A, BH_B$ и $CH_C$. Докажите, что треугольник с вершинами в точках пересечения высот треугольников $AH_BH_C, BH_AH_C, CH_AH_B$ равен треугольнику $H_AH_BH_C$.
Решение:
Пусть $H_1, H_2, H_3$ - ортоцентры (точки пересечения высот) треугольников $AH_BH_C, BH_AH_C, CH_AH_B$ соответственно, $H$ - ортоцентр треугольника $ABC, M_1, M_2, M_3$ - середины отрезков $H_BH_C, H_CH_A$ и $H_AH_B$. Покажем, что точка $H_i$ симметрична точке $H$ относительно $M_i$ ($i = 1, 2, 3$). Рассмотрим, например, точку $H_2$. Поскольку $H_CH_2 \perp BC$ и $AH \perp BC$, отрезки $H_CH_2$ и $HH_A$ параллельны (рис. а). Аналогично, $H_AH_2 \parallel HH_C$. Значит, $H_CH_2H_AH$ - параллелограмм, и точка $H_2$ симметрична $H$ относительно середины диагонали $H_AH_C$. Такие же рассуждения справедливы для точек $H_1$ и $H_3$.
Получаем конфигурацию, показанную на рис. б. Так как $M_1M_2$ - общая средняя линия треугольников $H_AH_BH_C$ и $H_1H_2H$, отрезки $H_AH_B$ и $H_1H_2$ равны. Аналогично доказываются равенства $H_BH_C = H_2H_3$ и $H_AH_C = H_1H_3$. Следовательно, треугольники $H_1H_2H_3$ и $H_AH_BH_C$ равны.
